Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg098864

Medidas de Tendência Central: Média, Mediana e Moda

Gabarito: letra C. Para a amostra {50, 60, 70, 80, 90}, a média aritmética é 70 e a mediana também é 70, pois há um número ímpar de elementos e o termo central (3º) é 70. As demais alternativas falham: a média geométrica e a harmônica não coincidem com a aritmética, não há moda (todos os valores são distintos) e o coeficiente de variação amostral é igual ao populacional, pois a amostra é a própria população.

A questão cobra o domínio das medidas de tendência central e suas relações. A média aritmética é a soma dos valores dividida pelo número de elementos; a mediana é o valor que ocupa a posição central quando os dados estão ordenados; a moda é o valor que mais se repete. Para um conjunto com número ímpar de elementos, a mediana é exatamente o termo do meio. Vamos calcular cada medida para a amostra dada.

Cálculo da média aritmética:

\bar{x} = \frac{50 + 60 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{350}{5} = 70

Cálculo da mediana:

Os dados já estão ordenados: 50, 60, 70, 80, 90. Como $n = 5$ (ímpar), a mediana é o elemento na posição $\frac{n+1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ , ou seja, o 3º termo: 70.

Portanto, média = mediana = 70.

Cálculo da moda:

Todos os valores aparecem uma única vez, logo não há moda (conjunto amodal).

Cálculo das médias geométrica e harmônica:

Média geométrica: $G = \sqrt[5]{50 \times 60 \times 70 \times 80 \times 90}$ . Calculando: $50 \times 60 = 3000$ ; $3000 \times 70 = 210000$ ; $210000 \times 80 = 16800000$ ; $16800000 \times 90 = 1512000000$ . Então $G = \sqrt[5]{1512000000} \approx 68,2$ , que é diferente de 70.
Média harmônica: $H = \frac{5}{\frac{1}{50} + \frac{1}{60} + \frac{1}{70} + \frac{1}{80} + \frac{1}{90}}$ . Calculando os inversos: $0,02 + 0,01667 + 0,01429 + 0,0125 + 0,01111 = 0,07457$ . Logo, $H = \frac{5}{0,07457} \approx 67,05$ , também diferente de 70.

Coeficiente de variação:

O coeficiente de variação (CV) é o desvio padrão dividido pela média. Como a amostra é a própria população (todos os indivíduos foram medidos), o desvio padrão amostral e o populacional são iguais, e portanto os CVs são iguais. A alternativa E afirma que o CV amostral é menor que o populacional, o que é falso.

Medida	Valor calculado	Coincide com a média aritmética (70)?
Média aritmética (x̄)	70	— (referência)
Mediana	70	✅ Sim
Moda	Não existe (amodal)	❌ Não
Média geométrica (G)	≈ 68,2	❌ Não
Média harmônica (H)	≈ 67,05	❌ Não
CV amostral vs. populacional	Iguais (s = σ, x̄ = μ)	❌ Não (alternativa E falsa)

Alternativa A — ❌ Incorreta

A média aritmética (70) não coincide com a média geométrica (aproximadamente 68,2). A média geométrica é sempre menor ou igual à aritmética para valores positivos, e a igualdade só ocorre quando todos os valores são iguais, o que não é o caso.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A média aritmética (70) não coincide com a média harmônica (aproximadamente 67,05). A média harmônica é sempre menor ou igual à geométrica, que por sua vez é menor ou igual à aritmética (desigualdade das médias).

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A média aritmética é 70 e a mediana é 70, pois o conjunto tem 5 elementos (ímpar) e o termo central é 70. A igualdade entre média e mediana ocorre em distribuições simétricas, e este conjunto é perfeitamente simétrico em torno de 70.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Não há moda na amostra, pois todos os valores são distintos. A moda seria o valor que mais se repete, e nenhum valor se repete. Portanto, a média não coincide com a moda.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O coeficiente de variação amostral é igual ao populacional, pois a amostra contém todos os elementos da população. A fórmula do CV é $CV = \frac{s}{\bar{x}}$ para amostra e $CV = \frac{\sigma}{\mu}$ para população; como $s = \sigma$ e $\bar{x} = \mu$ , os CVs são idênticos.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre as diferentes médias e a relação entre amostra e população. Muitos candidatos podem pensar que a média geométrica ou harmônica coincide com a aritmética, mas isso só ocorre quando todos os valores são iguais. Além disso, a alternativa E tenta confundir ao sugerir que o CV amostral difere do populacional, quando na verdade, como a amostra é a população inteira, eles são iguais. Fique atento: a igualdade entre média e mediana é uma propriedade de distribuições simétricas, e aqui o conjunto é simétrico.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rapidamente, calcule a média e a mediana primeiro. Em um conjunto ordenado com número ímpar de elementos, a mediana é o termo central. Se a distribuição for simétrica, média e mediana coincidem. Lembre-se também: a moda só existe se houver valores repetidos; caso contrário, o conjunto é amodal. E o coeficiente de variação só difere entre amostra e população quando a amostra é uma parte da população, não quando é a população inteira.

Gabarito: letra C