Uma empresa utiliza dois insumos em seu processo produtivo: trabalho (L) e capital (K). Considere que a função de produção da empresa é dada por Q = L⁰,⁵K⁰,⁵ , que é uma função de produção de Cobb-Douglas. Suponha que a empresa deseje produzir uma quantidade fixa de Q = 100 unidades de produto.Além disso, o preço do trabalho (w) é R$10 por unidade e o preço do capital (r) é R$20 por unidade, e sabe-se que a empresa deseja minimizar seus custos.[Caso necessário, use a informação 0,5⁰,⁵ ≈ 0,707.]A combinação de insumos L e K que deve ser escolhida para minimizar os custos, e o respectivo custo total mínimo são
AL = 50 e K = 100, com um custo total de R$ 2.500.
BL = 100 e K = 50, com um custo total de R$ 1.500.
CL = 200 e K = 100, com um custo total de R$ 4.000.
DL ≈ 70,7 e K ≈ 70,7, com um custo total de R$ 2.121,30.
EL ≈ 141,4 e K ≈ 70,7, com um custo total de R$ 2.828,40.
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GabaritoE — L ≈ 141,4 e K ≈ 70,7, com um custo total de R$ 2.828,40.
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Minimização de custos com função Cobb-Douglas
Gabarito: letra E. Para minimizar o custo de produzir Q = 100 com a função Q = L⁰,⁵K⁰,⁵, a firma deve igualar a taxa marginal de substituição técnica (TMST) à razão de preços dos insumos (w/r). Isso leva a L = 2K; substituindo na função de produção, obtém-se L ≈ 141,4 e K ≈ 70,7, com custo total mínimo de R$ 2.828,40. A condição de tangência entre isoquanta e isocusto é o coração do problema.
A função de produção Cobb-Douglas Q = L^α K^β é amplamente usada em microeconomia. Para α = β = 0,5, a firma minimiza custos quando a TMST (que é a razão dos produtos marginais) se iguala à razão dos preços dos fatores. A TMST para essa função é dada por (β/α)·(K/L) = K/L (já que α = β). Igualando a w/r = 10/20 = 0,5, temos K/L = 0,5, ou seja, L = 2K. Isso significa que, no ótimo, a firma usa o dobro de trabalho em relação ao capital, porque o trabalho é mais barato (w = 10 < r = 20).
Substituindo L = 2K na função de produção: 100 = (2K)⁰,⁵ · K⁰,⁵ = (2)⁰,⁵ · K. Como (2)⁰,⁵ ≈ 1,414, temos K ≈ 100/1,414 ≈ 70,7. Então L = 2K ≈ 141,4. O custo total é CT = wL + rK = 10·141,4 + 20·70,7 = 1.414 + 1.414 = 2.828,40. A alternativa E reproduz exatamente esses valores.
A pegadinha da banca está em inverter a relação entre L e K: como w < r, o ótimo exige mais trabalho que capital (L > K). Alternativas que trazem L = K ou L < K ignoram a diferença de preços e, portanto, não minimizam o custo.
Alternativa A — ❌ Incorreta
L = 50 e K = 100, custo R$ 2.500. Aqui L < K, o que contraria a condição de ótimo L = 2K. Além disso, o custo calculado (10·50 + 20·100 = 500 + 2.000 = 2.500) não é mínimo, pois a firma poderia reduzir o custo usando mais trabalho (mais barato) e menos capital. A combinação nem sequer produz exatamente 100 unidades: Q = 50⁰,⁵ · 100⁰,⁵ = 7,07 · 10 = 70,7, bem abaixo da meta.
Alternativa B — ❌ Incorreta
L = 100 e K = 50, custo R$ 1.500. Embora L > K, a proporção não é a ótima (L = 2K exigiria L = 100 e K = 50? Não: se K = 50, L deveria ser 100, mas isso não satisfaz Q = 100). Verificando: Q = 100⁰,⁵ · 50⁰,⁵ = 10 · 7,07 = 70,7, novamente abaixo de 100. O custo de R$ 1.500 (10·100 + 20·50 = 1.000 + 1.000 = 2.000? Na verdade 10·100 + 20·50 = 1.000 + 1.000 = 2.000, não 1.500 — a alternativa erra até o cálculo do custo). A combinação não atinge a produção desejada.
Alternativa C — ❌ Incorreta
L = 200 e K = 100, custo R$ 4.000. Aqui L = 2K, mas a produção seria Q = 200⁰,⁵ · 100⁰,⁵ = 14,14 · 10 = 141,4, muito acima de 100. A firma estaria produzindo mais do que o necessário, com custo desnecessariamente alto (10·200 + 20·100 = 2.000 + 2.000 = 4.000). A combinação não é a de custo mínimo para Q = 100.
Alternativa D — ❌ Incorreta
L ≈ 70,7 e K ≈ 70,7, custo R$ 2.121,30. Essa combinação usa quantidades iguais dos dois fatores, o que só seria ótimo se w = r. Como w = 10 e r = 20, a firma deve usar mais trabalho. Além disso, Q = 70,7⁰,⁵ · 70,7⁰,⁵ = 8,41 · 8,41 ≈ 70,7, não 100. O custo calculado (10·70,7 + 20·70,7 = 707 + 1.414 = 2.121) corresponde a uma produção menor que a meta.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
L ≈ 141,4 e K ≈ 70,7, custo R$ 2.828,40. Satisfaz a condição de tangência (L = 2K) e a meta de produção: Q = 141,4⁰,⁵ · 70,7⁰,⁵ = 11,89 · 8,41 ≈ 100. O custo total é CT = 10·141,4 + 20·70,7 = 1.414 + 1.414 = 2.828,40. É a única combinação que minimiza o custo para produzir exatamente 100 unidades.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a inversão da relação ótima entre L e K. Como w < r, o trabalho é relativamente mais barato, então a firma deve usar mais trabalho que capital (L > K). Alternativas que trazem L = K (letra D) ou L < K (letra A) ignoram essa diferença de preços. Lembre-se: a condição de ótimo é TMST = w/r, e para Cobb-Douglas com expoentes iguais, isso resulta em K/L = w/r. Com w/r = 0,5, temos L = 2K. Se você inverter (K = 2L), cairá na letra A ou C.
PEGA ESSA DICA!
Para funções Cobb-Douglas do tipo Q = L^α K^β, a condição de minimização de custo é sempre (β/α)·(K/L) = w/r. Quando α = β, isso simplifica para K/L = w/r. Use essa fórmula diretamente: ela economiza tempo e evita erros de derivação. Na prova, confira sempre se a combinação encontrada realmente produz a quantidade desejada — muitas alternativas erram justamente nesse ponto.