GabaritoA — 60 cm.
Gabarito: letra A — a conta chega a 60 cm — alternativa A.
O triângulo equilátero é o polígono regular de três lados: todos os lados e ângulos congruentes (60° cada). A área mede a superfície ocupada pela figura, em cm². A fórmula da área pode ser deduzida pela base ℓ e altura h = ℓ√3/2 (obtida por Pitágoras), resultando em A = ℓ²√3/4. Essa é a fórmula direta que a questão explora.
A relação que governa é A = ℓ²√3/4: a área cresce com o QUADRADO do lado, então se o lado dobra, a área quadruplica. O perímetro é 3ℓ, cresce linearmente com o lado. Para achar o perímetro a partir da área, precisamos primeiro isolar o lado ℓ na fórmula da área e depois multiplicar por 3.
Nesta questão, a banca inverte o caminho: em vez de dar o lado e pedir a área, dá a área e pede o perímetro. O candidato que decora a fórmula mas não sabe isolar ℓ acaba errando.
área = 100√3 cm²
triângulo equilátero
O que queremos: o perímetro do triângulo
Precisamos de uma relação entre a área (que conhecemos) e o lado (que queremos descobrir). A fórmula da área do triângulo equilátero é a ponte entre esses dois.
Por que esta fórmula: Para um triângulo equilátero, a área é dada por A = ℓ²√3/4, porque a altura é ℓ√3/2 e a área é base vezes altura sobre 2. É a fórmula direta que relaciona área e lado.
De onde vem cada valor: = enunciado: 100√3 cm² · = lado do triângulo (incógnita)
Usar a fórmula do triângulo qualquer (base × altura / 2) sem saber a altura — aqui a altura é ℓ√3/2.
Com a fórmula escrita, agora colocamos o valor da área que o enunciado deu para podermos resolver a equação e achar o lado.
Por que esta fórmula: É a mesma fórmula, apenas com o valor numérico da área no lugar de A.
De onde vem cada valor: = enunciado: área = 100√3 cm² · = lado ao quadrado (incógnita)
Esquecer de multiplicar ambos os lados por 4 ao isolar ℓ².
Para descobrir o lado, precisamos deixar ℓ² sozinho de um lado da equação. Isso é feito com operações inversas: multiplicar por 4 e dividir por √3.
Por que esta fórmula: Multiplicamos ambos os lados por 4 para cancelar o denominador, e dividimos por √3 para cancelar o fator √3 do numerador.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = denominador da fórmula da área · = fator que multiplica ℓ² na fórmula
Dividir 100 por 4 em vez de multiplicar — inverte a operação.
Temos ℓ² = 400; o lado é a raiz quadrada disso, pois lado é uma medida positiva.
Por que esta fórmula: A raiz quadrada é a operação inversa da potência ao quadrado.
De onde vem cada valor: = passo 3
Esquecer que raiz quadrada de 400 é 20, não 200.
O perímetro é a soma dos três lados iguais do triângulo equilátero. Como já temos o lado, agora multiplicamos por 3.
Por que esta fórmula: Perímetro de um polígono é a soma de todos os lados; no equilátero, todos são iguais, então P = 3ℓ.
De onde vem cada valor: = número de lados do triângulo · = passo 4: 20 cm
Parar no lado (20 cm) e marcar a letra E — a questão pede o perímetro, não o lado.
Resposta: 60 cm — alternativa A
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