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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
fg099450
Banca
FGV
Órgão
TJ-MT
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Técnico Judiciário
Em uma urna, há 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Três dessas bolas serão retiradas da urna simultaneamente e ao acaso.A probabilidade de que as bolas sorteadas não sejam todas de uma mesma cor é igual a
  1. A18/90.
  2. B24/90.
  3. C48/90.
  4. D60/90.
  5. E72/90.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 72/90.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 72/90, alternativa E.

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento acontecer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Quando retiramos bolas simultaneamente, a ordem não importa, então contamos os agrupamentos com combinação: C(n,k) = n!/(k!(n-k)!), que dá o número de maneiras de escolher k elementos entre n. O espaço amostral é o total de combinações possíveis de 3 bolas entre 10. O evento 'não serem todas da mesma cor' é o complemento de 'serem todas brancas ou todas pretas', então podemos calcular direto ou pelo complemento. Nesta questão, precisamos contar os casos favoráveis (mistura de cores) e dividir pelo total.

O que a questão dá

  • 4 bolas brancas

  • 6 bolas pretas

  • total de 10 bolas

  • retirada simultânea de 3 bolas

O que queremos: a probabilidade de que as três bolas retiradas não sejam todas da mesma cor

Passo 1 — Calcular o total de combinações possíveis

Para calcular qualquer probabilidade, precisamos saber quantos resultados possíveis existem no total. Como a retirada é simultânea, a ordem não importa, então usamos combinação.

Por que esta fórmula: A combinação C(n,k) conta de quantas maneiras podemos escolher k elementos de um conjunto de n, sem considerar a ordem. Aqui, escolhemos 3 bolas entre 10.

C10,3=10!3!(10−3)!C_{10{,}3} = \frac{10!}{3!(10-3)!}

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: total de bolas (4 brancas + 6 pretas) · 33 = enunciado: três bolas retiradas

C10,3=10×9×83×2×1=120 combinac\co~esC_{10{,}3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{120\ \text{combina}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (ordem importa) em vez de combinação, o que daria 720 e erraria tudo.

Passo 2 — Contar os casos com 2 brancas e 1 preta

O evento 'não todas da mesma cor' inclui misturas: ou 2 brancas e 1 preta, ou 1 branca e 2 pretas. Precisamos contar cada caso separadamente.

Por que esta fórmula: Para escolher 2 brancas entre 4 e 1 preta entre 6, multiplicamos as combinações de cada cor, pois são escolhas independentes.

C4,2×C6,1C_{4,2} \times C_{6,1}

De onde vem cada valor: C4,2C_{4,2} = enunciado: 4 bolas brancas, escolher 2 · C6,1C_{6,1} = enunciado: 6 bolas pretas, escolher 1

C4,2×C6,1=6×6=36 combinac\co~esC_{4,2} \times C_{6,1} = 6 \times 6 = \boxed{36\ \text{combina}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar as combinações, contando apenas C(4,2) ou C(6,1).

Passo 3 — Contar os casos com 1 branca e 2 pretas

O outro caso de mistura é 1 branca e 2 pretas. Precisamos contar também essas combinações para somar com o caso anterior.

Por que esta fórmula: Analogamente, escolhemos 1 branca entre 4 e 2 pretas entre 6, multiplicando as combinações.

C4,1×C6,2C_{4,1} \times C_{6,2}

De onde vem cada valor: C4,1C_{4,1} = enunciado: 4 bolas brancas, escolher 1 · C6,2C_{6,2} = enunciado: 6 bolas pretas, escolher 2

C4,1×C6,2=4×15=60 combinac\co~esC_{4,1} \times C_{6,2} = 4 \times 15 = \boxed{60\ \text{combina}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir os índices, por exemplo usar C(4,2) e C(6,1) de novo.

Passo 4 — Somar os casos favoráveis

Os dois casos de mistura são mutuamente exclusivos, então o total de casos favoráveis é a soma deles.

Por que esta fórmula: Somar as quantidades de cada caso, pois não há interseção entre eles.

36+6036 + 60

De onde vem cada valor: 3636 = passo 2 · 6060 = passo 3

36+60=96 combinac\co~es36 + 60 = \boxed{96\ \text{combina}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e usar apenas um dos casos.

Passo 5 — Calcular a probabilidade

A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e o total de casos possíveis. Agora temos os dois números.

Por que esta fórmula: Probabilidade = casos favoráveis / casos possíveis, pois cada combinação é igualmente provável.

P=96120P = \frac{96}{120}

De onde vem cada valor: 9696 = passo 4 · 120120 = passo 1

P=96120P = \frac{96}{120}
P=45P = \boxed{\frac{4}{5}}
NÃO CAIA NESSA!

Não simplificar a fração, ou inverter numerador e denominador.

Passo 6 — Converter para o denominador 90

As alternativas estão com denominador 90, então precisamos expressar a probabilidade nessa forma para comparar.

Por que esta fórmula: Multiplicar numerador e denominador por um fator que transforme 5 em 90: 90/5 = 18.

45=4×185×18\frac{4}{5} = \frac{4 \times 18}{5 \times 18}

De onde vem cada valor: 4/54/5 = passo 5 · 1818 = fator para obter denominador 90

4×185×18=7290=72 /90\frac{4 \times 18}{5 \times 18} = \frac{72}{90} = \boxed{72\ /90}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o numerador também, resultando em 4/90.

Resposta: 72/90, alternativa E

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