Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024
Estatística›Cálculo de Probabilidades
Código
fg099867
Banca
FGV
Órgão
TJ-RR
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista Judiciário - Ciência de Dados e Analytics
Um time de futebol disputa um campeonato em que joga um número igual de partidas em seu estádio e fora de seu estádio. As probabilidades de ganhar, empatar ou perder uma partida quando joga em seu estádio são, respectivamente, 1/2, 1/5 e 3/10. As probabilidades de ganhar, empatar ou perder uma partida quando joga fora de seu estádio são, respectivamente, 1/5, 1/5 e 3/5.Um torcedor desinformado, ao chegar em sua aula sobre inferência bayesiana, ouviu de seus amigos que o referido time havia perdido a última partida que disputou. Sem obter nenhuma informação adicional, o torcedor resolveu calcular as probabilidades (a posteriori) de o time haver jogado a última partida em seu estádio ou fora de seu estádio.As probabilidades calculadas corretamente pelo torcedor foram, respectivamente,
A1/5 e 4/5.
B2/5 e 3/5.
C1/7 e 6/7.
D3/7 e 4/7.
E1/3 e 2/3.
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GabaritoE — 1/3 e 2/3.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Teorema de Bayes: probabilidade a posteriori
Gabarito: letra E. As probabilidades a posteriori de o time ter jogado em casa ou fora, dado que perdeu, são, respectivamente, 1/3 e 2/3. Isso decorre da aplicação direta do Teorema de Bayes, combinando as probabilidades a priori (iguais, pois o time joga o mesmo número de partidas em casa e fora) com as verossimilhanças (probabilidades de perder em cada condição).
O problema é um clássico de inferência bayesiana: temos duas hipóteses mutuamente exclusivas e exaustivas — o time jogou em casa (C) ou fora (F) — e observamos um dado (a derrota, D). Queremos a probabilidade de cada hipótese dado o dado observado, ou seja, P(C|D) e P(F|D).
Como o time disputa o mesmo número de partidas em casa e fora, as probabilidades a priori são iguais: P(C) = P(F) = 1/2. As verossimilhanças são dadas no enunciado: a probabilidade de perder em casa é 3/10, e a de perder fora é 3/5.
Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade a posteriori de ter jogado em casa dado que perdeu é:
O denominador, P(D), é a probabilidade total de derrota, calculada pela lei da probabilidade total:
Agora, calculamos cada probabilidade a posteriori:
Portanto, as probabilidades são 1/3 (casa) e 2/3 (fora), exatamente a alternativa E.
1A priori: P(C)=P(F)=1/2
2Verossimilhanças: P(D|C)=3/10, P(D|F)=3/5
3Probabilidade total: P(D)=9/20
4A posteriori: P(C|D)=1/3, P(F|D)=2/3
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Critério
Jogou em casa (C)
Jogou fora (F)
Probabilidade a priori P(C) ou P(F)
1/2
1/2
Verossimilhança P(Perder | local)
3/10
3/5
Produto (a priori × verossimilhança)
3/20
3/10 = 6/20
Probabilidade a posteriori P(local | Perder)
(3/20) ÷ (9/20) = 1/3
(6/20) ÷ (9/20) = 2/3
Alternativa A — ❌ Incorreta
Apresenta 1/5 e 4/5. Esses valores não correspondem a nenhuma combinação correta das probabilidades. O erro provável é ter usado as probabilidades de perder diretamente (3/10 e 3/5) sem normalizar pela probabilidade total de derrota, ou ter feito uma média aritmética simples. A soma 1/5 + 4/5 = 1, mas a razão entre elas (1:4) não reflete a razão correta entre as verossimilhanças ponderadas (que é 1:2).
Alternativa B — ❌ Incorreta
Apresenta 2/5 e 3/5. A soma é 1, mas a razão 2:3 não corresponde à razão correta. O candidato pode ter usado as probabilidades de perder em casa e fora (3/10 e 3/5) e, após normalizar, obtido 1/3 e 2/3 — não 2/5 e 3/5. Outro erro comum é inverter a ordem ou usar as probabilidades de ganhar/empatar.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Apresenta 1/7 e 6/7. A razão 1:6 é muito distante da correta. Provavelmente o candidato usou as probabilidades de perder em casa e fora (3/10 e 3/5) e, ao invés de ponderar pelas a priori iguais, fez algo como (3/10)/(3/10 + 3/5) = (3/10)/(9/10) = 1/3, que daria 1/3 e 2/3 — não 1/7 e 6/7. Pode ter havido erro aritmético na soma das frações.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Apresenta 3/7 e 4/7. A razão 3:4 não é a correta. O candidato pode ter usado as probabilidades de perder em casa e fora (3/10 e 3/5) e, ao invés de usar 1/2 como a priori, usou as probabilidades de ganhar/empatar/perder de forma equivocada, ou simplesmente errou na normalização. A razão correta é 1:2, não 3:4.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Como demonstrado, P(C|D) = 1/3 e P(F|D) = 2/3. A alternativa está correta porque aplica corretamente o Teorema de Bayes, considerando as probabilidades a priori iguais (1/2) e as verossimilhanças de derrota (3/10 em casa e 3/5 fora), normalizando pela probabilidade total de derrota (9/20).
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre probabilidade a priori e a posteriori. O candidato pode ser tentado a responder diretamente com as probabilidades de perder em casa (3/10) e fora (3/5), ou a fazer uma média simples, esquecendo de normalizar pela probabilidade total de derrota. Lembre-se: o Teorema de Bayes exige que as probabilidades a posteriori somem 1, e a razão entre elas é dada pela razão entre as verossimilhanças ponderadas pelas a priori. Aqui, como as a priori são iguais, a razão é 3/10 : 3/5 = 1:2, resultando em 1/3 e 2/3.
PEGA ESSA DICA!
Para resolver problemas de Bayes, monte uma tabela com as hipóteses, as probabilidades a priori, as verossimilhanças e os produtos (a priori × verossimilhança). A probabilidade a posteriori de cada hipótese é o seu produto dividido pela soma de todos os produtos. Isso evita erros de normalização e agiliza o cálculo.