Questão de Estatística — Principais distribuições de probabilidade — FGV 2024

Distribuição F de Snedecor: razão de qui-quadrados independentes

Gabarito: letra A. A variável $X = \frac{nU}{mV}$, com $U \sim \chi^2_m$ e $V \sim \chi^2_n$ independentes, é exatamente a razão de duas qui-quadrados independentes, cada uma dividida pelos seus graus de liberdade — essa é a definição da distribuição F de Snedecor com $m$ e $n$ graus de liberdade. As demais alternativas confundem a F com a t-Student ou com a Normal, ou erram os graus de liberdade.

A distribuição F é construída a partir de duas variáveis qui-quadrado independentes. Se $U \sim \chi^2_m$ e $V \sim \chi^2_n$, então:

segue uma distribuição F com $m$ graus de liberdade no numerador e $n$ graus de liberdade no denominador. No enunciado, $X = \frac{nU}{mV} = \frac{U/m}{V/n}$, que é exatamente essa razão. Portanto, $X \sim F_{m,n}$.

A pegadinha clássica da banca é trocar a F pela t-Student. A t-Student é definida como $\frac{Z}{\sqrt{\chi^2_k/k}}$, com $Z \sim N(0,1)$ independente da qui-quadrado — ou seja, envolve uma normal padrão no numerador, não uma qui-quadrado. Como aqui o numerador é uma qui-quadrado, a distribuição é F, não t.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Exatamente a definição: razão de duas qui-quadrado independentes, cada uma dividida pelos seus graus de liberdade, resulta em F com $m$ e $n$ graus de liberdade. A ordem importa: o primeiro parâmetro ($m$) é o grau de liberdade do numerador ($U$), e o segundo ($n$) é o do denominador ($V$).

Alternativa B — ❌ Incorreta

A F não é uma distribuição Normal. A Normal tem média e variância finitas e é simétrica; a F é assimétrica à direita e definida apenas para valores positivos. Além disso, os parâmetros $m+n$ e $(mn)^2$ não correspondem a nenhuma característica da F — a média da F existe apenas para $n > 2$ e vale $\frac{n}{n-2}$, não $m+n$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Os graus de liberdade da F são exatamente os das qui-quadrado originais: $m$ e $n$. Subtrair 1 de cada um seria correto se estivéssemos lidando com variâncias amostrais (onde cada qui-quadrado tem $n-1$ graus de liberdade), mas o enunciado já fornece as qui-quadrado com $m$ e $n$ graus de liberdade diretamente — não há subtração.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A t-Student não se aplica aqui. A t é definida como $\frac{Z}{\sqrt{\chi^2_k/k}}$, com $Z$ normal padrão independente. No numerador temos uma qui-quadrado, não uma normal. Além disso, os graus de liberdade $m+n-2$ não têm relação com a definição da F.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Mesmo erro da D: a distribuição é F, não t-Student. O grau de liberdade $m+n$ também não corresponde a nenhuma fórmula da F — a F tem dois parâmetros (numerador e denominador), não um único grau de liberdade somado.

Gabarito: letra A