Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg099993

Probabilidade com distribuição hipergeométrica

Gabarito: letra C. A probabilidade de sortear exatamente 3 homens em 5 moradores, sem reposição, de uma vila com 50 moradores (20 homens e 30 mulheres), é dada pela distribuição hipergeométrica: $P(X=3) = \frac{\binom{20}{3}\binom{30}{2}}{\binom{50}{5}} \approx 0,23$ . O cálculo usa combinações porque a ordem dos sorteados não importa e a seleção é sem reposição.

A questão envolve a seleção de uma amostra sem reposição de uma população finita, onde cada elemento tem a mesma chance de ser escolhido (amostragem aleatória simples). Quando queremos a probabilidade de um número exato de sucessos (homens) em uma amostra retirada sem reposição, o modelo correto é a distribuição hipergeométrica, não a binomial (que exige independência entre as extrações, o que só ocorre com reposição ou população infinita).

A fórmula geral da hipergeométrica é:

P(X = k) = \frac{\binom{D}{k} \cdot \binom{N-D}{n-k}}{\binom{N}{n}}

onde:

$N$ = tamanho da população (50 moradores);
$D$ = número de sucessos na população (20 homens);
$n$ = tamanho da amostra (5 sorteados);
$k$ = número de sucessos desejados na amostra (3 homens).

Substituindo:

P(X=3) = \frac{\binom{20}{3} \cdot \binom{30}{2}}{\binom{50}{5}}

Calculando cada combinação:

$\binom{20}{3} = \frac{20!}{3! \cdot 17!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = 1140$
$\binom{30}{2} = \frac{30!}{2! \cdot 28!} = \frac{30 \cdot 29}{2} = 435$
$\binom{50}{5} = \frac{50!}{5! \cdot 45!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46}{120} = 2.118.760$

Portanto:

P(X=3) = \frac{1140 \cdot 435}{2.118.760} = \frac{495.900}{2.118.760} \approx 0,2341 \approx 0,23

A alternativa C é a que mais se aproxima.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato com a distribuição binomial, que usa $\binom{5}{3} \cdot (0,4)^3 \cdot (0,6)^2$ . Mas a binomial exige independência entre as extrações, o que não ocorre quando o sorteio é sem reposição de uma população finita. A hipergeométrica é o modelo correto, pois considera a retirada sem reposição. Fique atento: se o enunciado disser "sem reposição" e a população for finita, use hipergeométrica; se disser "com reposição" ou "população muito grande", use binomial.

1Identificar N, D, n, k
2Montar combinações
3Calcular P(X=k)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,10 é muito baixo. Ele não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados. Provavelmente é um distrator para quem erra na montagem das combinações ou usa a binomial de forma incorreta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,17 é um valor intermediário, mas ainda abaixo do correto. Pode surgir de um erro de cálculo, como esquecer de multiplicar pelo número de maneiras de escolher os 2 não-homens (as mulheres) ou usar apenas $\binom{20}{3}$ no numerador sem considerar as mulheres.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $P(X=3) \approx 0,2341$ , que arredondado para duas casas decimais é 0,23. É exatamente o valor da alternativa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

0,31 é um valor maior que o correto. Pode resultar de usar a distribuição binomial com $p = 0,4$ (proporção de homens) e $n = 5$ , que daria $\binom{5}{3} \cdot 0,4^3 \cdot 0,6^2 = 10 \cdot 0,064 \cdot 0,36 = 0,2304$ , mas isso é coincidência com o valor correto? Na verdade, a binomial dá 0,2304, que também é próximo de 0,23. Mas a banca pode ter usado a binomial como distrator, e 0,31 pode vir de um erro de arredondamento ou de usar $p = 0,5$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,41 é um valor alto demais. Não corresponde a nenhum cálculo plausível com os dados fornecidos. Provavelmente é um distrator para quem confunde a probabilidade de pelo menos 3 homens (que seria maior) ou erra na soma das probabilidades.

PEGA ESSA DICA!

Para identificar o modelo correto, verifique se a extração é com ou sem reposição. Se for sem reposição e a população for finita, use hipergeométrica. Se for com reposição ou população infinita, use binomial. Na hora da prova, monte a fórmula da hipergeométrica e calcule as combinações com calma — os números costumam ser grandes, mas o método é sempre o mesmo.

Gabarito: letra C