Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2024

Regressão Linear Múltipla: Estimadores de Mínimos Quadrados

Gabarito: letra D. O estimador de mínimos quadrados ordinários (MQO) para o vetor de parâmetros $\beta$ em um modelo de regressão linear múltipla $y = X\beta + e$ é obtido minimizando a soma dos quadrados dos resíduos, resultando na equação normal $X'X\hat{\beta} = X'Y$. Ao isolar $\hat{\beta}$, multiplicando ambos os lados pela inversa da matriz $(X'X)$, obtemos $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$.

No modelo de regressão linear múltipla, buscamos encontrar o vetor $\hat{\beta}$ que minimiza a função de perda $S(\beta) = (y - X\beta)'(y - X\beta)$. Ao derivar essa função em relação a $\beta$ e igualar a zero, chegamos ao sistema de equações normais. A solução desse sistema exige que a matriz $(X'X)$ seja não singular (ou seja, que tenha posto completo), garantindo a existência da sua inversa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta expressão está incorreta pois inverte a ordem da transposição e da inversão, além de não representar a forma padrão do estimador de MQO.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa inverte a ordem da multiplicação das matrizes. A matriz $(X'X)^{-1}$ deve multiplicar o vetor $(X'Y)$ à esquerda.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta expressão não possui fundamento matemático na derivação dos estimadores de MQO, tratando de inversas de produtos que não correspondem à solução do sistema de equações normais.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Esta é a representação correta do estimador de mínimos quadrados ordinários: $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$. Ela deriva diretamente da solução do sistema de equações normais $X'X\hat{\beta} = X'Y$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa inverte a posição da inversa e dos produtos, não correspondendo à solução algébrica correta para o vetor de parâmetros.