Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg099999

Teste U de Mann-Whitney (Wilcoxon – Mann – Whitney)

Gabarito: letra C. O valor da estatística U é 20, obtido pelo menor entre U₁ e U₂, calculados a partir da soma dos postos de cada amostra combinada e ordenada. A fórmula é $U_i = R_i - \frac{n_i(n_i+1)}{2}$ , em que $R_i$ é a soma dos postos do grupo $i$ e $n_i$ o tamanho da amostra.

O teste U de Mann-Whitney é um teste não paramétrico utilizado para comparar duas amostras independentes, verificando se elas provêm da mesma população. É a alternativa não paramétrica ao teste t de Student para duas amostras independentes, sendo aplicado quando a suposição de normalidade é violada ou quando os dados são ordinais. A hipótese nula é que as medianas das duas populações são iguais.

O procedimento consiste em:

Combinar as duas amostras em uma única amostra ordenada de forma crescente, identificando a origem de cada observação.
Atribuir postos (1 para o menor, N para o maior; em caso de empates, usar a média dos postos).
Somar os postos de cada amostra: $R_1$ e $R_2$ .
Calcular $U_1$ e $U_2$ pela fórmula $U_i = R_i - \frac{n_i(n_i+1)}{2}$ .
A estatística do teste é $U = \min(U_1, U_2)$ .

Aplicando aos dados:

Amostra 1 (n₁ = 7): 35, 40, 45, 46, 56, 60, 100 Amostra 2 (n₂ = 10): 22, 44, 61, 66, 70, 75, 82, 90, 92, 98

Ordenando todos os valores e atribuindo postos:

Valor	Amostra	Posto
22	2	1
35	1	2
40	1	3
44	2	4
45	1	5
46	1	6
56	1	7
60	1	8
61	2	9
66	2	10
70	2	11
75	2	12
82	2	13
90	2	14
92	2	15
98	2	16
100	1	17

Soma dos postos da Amostra 1: $R_1 = 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8 + 17 = 48$ Soma dos postos da Amostra 2: $R_2 = 1 + 4 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 105$

Calculando:

$U_1 = 48 - \frac{7 \times 8}{2} = 48 - 28 = 20$

$U_2 = 105 - \frac{10 \times 11}{2} = 105 - 55 = 50$

A estatística U é o menor valor: $U = \min(20, 50) = 20$ .

1Combinar e ordenar
2Atribuir postos
3Somar postos (R₁, R₂)
4Calcular U₁ e U₂
5U = min(U₁, U₂)

LEVEL · soulevel.com.br

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 3 não corresponde a nenhum cálculo correto. Poderia ser confundido com o número de observações da amostra 1 que são menores que o menor valor da amostra 2? Não, pois 35, 40, 45, 46, 56, 60, 100 são todos maiores que 22, mas isso não gera 3. O valor 3 não tem relação com o teste.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 15 não é o resultado. Poderia ser confundido com o posto do valor 92, mas não é a estatística U. O cálculo correto resulta em 20.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $U_1 = 20$ e $U_2 = 50$ , e a estatística do teste é o menor deles, $U = 20$ . Este é o valor que a banca pede.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 22 é o menor valor da amostra 2, mas não é a estatística U. O cálculo correto resulta em 20.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 48 é a soma dos postos da amostra 1 ( $R_1$ ), não a estatística U. A estatística U é o menor entre $U_1$ e $U_2$ , que é 20.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato com a soma dos postos ( $R_1 = 48$ ) ou com o valor de $U_2$ (50), mas a estatística do teste é sempre o menor entre $U_1$ e $U_2$ . Lembre-se: $U = \min(U_1, U_2)$ .

PEGA ESSA DICA!

Para não errar, monte a tabela de postos com cuidado, some os postos de cada grupo e aplique a fórmula. Se houver empates, use a média dos postos. O valor de U é sempre o menor entre os dois calculados.

Gabarito: letra C