Suficiência e Estimadores de Máxima Verossimilhança
Gabarito: letra E. As três afirmativas estão corretas: (I) define estatística suficiente pela independência da distribuição condicional da amostra dado S=s em relação a θ; (II) enuncia o Teorema da Fatoração de Neyman-Fisher; (III) afirma que o EMV depende da amostra apenas por meio de uma estatística suficiente — propriedade que decorre diretamente da fatoração. A questão cobra conceitos centrais da inferência estatística, e a alternativa E é a única que reúne as três definições corretas.
Vamos entender cada conceito. Uma estatística suficiente é uma função da amostra que resume toda a informação relevante sobre o parâmetro θ: uma vez conhecido o valor de S, nenhuma outra informação da amostra ajuda a estimar θ. A definição formal é exatamente a da afirmativa I: a distribuição condicional da amostra dado S=s não depende de θ. Isso significa que, condicionando em S, a amostra não carrega mais informação sobre o parâmetro.
O Teorema da Fatoração (ou critério de Neyman) dá uma forma operacional de verificar a suficiência: a densidade conjunta da amostra pode ser fatorada como o produto de uma função que depende de θ apenas por meio de s (a estatística) e de uma função que não depende de θ. A afirmativa II reproduz exatamente esse teorema, com as condições de não negatividade das funções.
A afirmativa III é uma consequência direta: se a verossimilhança fatora como g(s;θ)·h(x), então maximizar a verossimilhança em θ equivale a maximizar g(s;θ), que depende da amostra apenas por s. Logo, o EMV é função de uma estatística suficiente. Isso vale para qualquer distribuição, desde que o EMV exista.
A pegadinha da banca aqui é tentar confundir o candidato com formulações ligeiramente alteradas (por exemplo, trocar "independente de θ" por "dependente de θ", ou inverter o papel das funções g e h). Mas as três afirmativas estão redigidas com precisão matemática, sem armadilhas.
Item | Afirmação | Análise | Veredito |
|---|
I | Definição formal de estatística suficiente (distribuição condicional independente de θ) | Corresponde exatamente à definição clássica (Casella & Berger) | ✅ Correto |
II | Teorema da Fatoração de Neyman-Fisher (fatoração g(s;θ)·h(x)) | Redação precisa, com condições de não negatividade | ✅ Correto |
III | EMV depende da amostra apenas por meio de estatística suficiente | Decorre da fatoração: maximizar L(θ;x) = g(s;θ)·h(x) equivale a maximizar g(s;θ) | ✅ Correto |
Item I — ✅ Correto
A afirmativa I é a definição formal de estatística suficiente. Se a distribuição condicional da amostra dado S=s não depende de θ, então S captura toda a informação sobre θ contida na amostra. Essa é a definição clássica, presente em qualquer livro de inferência estatística (Casella & Berger, por exemplo). Não há erro aqui.
Item II — ✅ Correto
A afirmativa II é o Teorema da Fatoração de Neyman-Fisher. A condição é necessária e suficiente: S é suficiente se e somente se a densidade conjunta fatora como g(s;θ)·h(x), com g não negativa e dependendo de x apenas por s, e h não negativa e independente de θ. A redação está correta, incluindo as condições de não negatividade.
Item III — ✅ Correto
A afirmativa III é uma propriedade fundamental do EMV: se S é suficiente, então o EMV de θ é uma função de S. Isso decorre da fatoração: a verossimilhança L(θ;x) = g(s;θ)·h(x), e maximizar L em θ é o mesmo que maximizar g(s;θ), que só depende de s. Portanto, o EMV depende da amostra apenas por meio da estatística suficiente.
Conclusão: corretos os itens I, II e III → gabarito: letra E.