Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2024

Estimativa de Máxima Verossimilhança para Bernoulli

Gabarito: letra D. Para uma amostra aleatória simples de uma distribuição Bernoulli(p), o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de p é a proporção de sucessos na amostra, ou seja, $\hat{p} = \bar{x} = \frac{\text{número de 1's}}{n}$. Contando os 1's na amostra fornecida, obtemos 12 sucessos em 25 observações, logo $\hat{p} = \frac{12}{25} = 0,48$.

A estimação por máxima verossimilhança busca o valor do parâmetro que torna a amostra observada a mais provável. Para uma Bernoulli, a função de verossimilhança é $L(p) = p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}$. Maximizar essa função (ou seu logaritmo) em relação a p resulta exatamente na média amostral, que é a proporção de sucessos. Esse é um resultado clássico: o EMV de p é a proporção amostral $\hat{p} = \bar{x}$.

A pegadinha aqui é puramente aritmética: é preciso contar corretamente os 1's na sequência. Vamos contar com cuidado:

1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1

Separando em grupos de 5 para facilitar:

• 1 1 0 0 0 → 2 sucessos

• 1 0 1 0 1 → 3 sucessos

• 0 0 0 0 1 → 1 sucesso

• 0 1 1 1 0 → 3 sucessos

• 1 1 0 0 1 → 3 sucessos

Total de sucessos = 2 + 3 + 1 + 3 + 3 = 12. O tamanho da amostra é n = 25. Portanto, $\hat{p} = \frac{12}{25} = 0,48$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

0,24 seria o valor se houvesse apenas 6 sucessos em 25 (6/25 = 0,24). Esse número corresponde a menos da metade dos sucessos reais — provavelmente um erro de contagem grosseiro ou confusão com outra estatística.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,30 corresponderia a 7,5 sucessos em 25, o que não é um valor inteiro possível. Esse distrator pode vir de uma contagem errada (por exemplo, 7 ou 8 sucessos) ou de um cálculo equivocado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,36 corresponderia a 9 sucessos em 25 (9/25 = 0,36). É um valor plausível, mas não bate com a contagem correta de 12 sucessos. O candidato que contar 9 sucessos cairia nessa alternativa.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

0,48 é exatamente 12/25, a proporção de sucessos na amostra. Como o EMV de p para uma Bernoulli é a média amostral, essa é a resposta correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,54 corresponderia a 13,5 sucessos em 25, o que não é um valor inteiro. Esse distrator pode vir de uma contagem de 13 ou 14 sucessos, ou de um erro de arredondamento.

Gabarito: letra D