Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg100008

Função Geradora de Momentos da Distribuição Exponencial

Gabarito: letra B. A função geradora de momentos (fgm) de uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro $\lambda$ é $M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}$ , válida para $t < \lambda$ . Isso decorre diretamente da definição $M_X(t) = E[e^{tX}] = \int_0^\infty e^{tx} \lambda e^{-\lambda x} dx$ , que converge para $\frac{\lambda}{\lambda - t}$ quando $t < \lambda$ .

A questão apresenta a função densidade $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ para $x \geq 0$ , que é exatamente a densidade da distribuição exponencial com parâmetro $\lambda$ . A função geradora de momentos é uma ferramenta que resume todos os momentos da distribuição (média, variância, etc.) em uma única função. Para calculá-la, aplicamos a definição:

M_X(t) = E[e^{tX}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} f(x) dx = \int_0^{\infty} e^{tx} \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda \int_0^{\infty} e^{-(\lambda - t)x} dx

Essa integral converge somente quando $\lambda - t > 0$ , ou seja, $t < \lambda$ . Nesse caso:

M_X(t) = \lambda \left[ -\frac{e^{-(\lambda - t)x}}{\lambda - t} \right]_0^{\infty} = \lambda \left( 0 + \frac{1}{\lambda - t} \right) = \frac{\lambda}{\lambda - t}

A condição $t < \lambda$ é essencial para a existência da fgm. É um resultado clássico e amplamente cobrado em provas de Estatística.

1Definição: M(t) = E[e^tX]
2Integral: λ∫e^-(λ-t)x dx
3Convergência exige t < λ
4Resultado: λ/(λ-t)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $m_X(t) = \frac{\lambda - t}{\lambda}$ , que é o inverso da expressão correta. Esse formato não corresponde à fgm de nenhuma distribuição conhecida e não surge de nenhuma manipulação algébrica da integral. O candidato que inverte a fração por descuido cai nessa armadilha.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Exatamente a fgm da exponencial: $m_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t}$ , com a condição de convergência $t < \lambda$ . A demonstração está no desenvolvimento acima: a integral $\lambda \int_0^{\infty} e^{-(\lambda - t)x} dx$ converge para $\frac{\lambda}{\lambda - t}$ somente quando o expoente é negativo, isto é, $t < \lambda$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $m_X(t) = \frac{\lambda}{t - \lambda}$ , com $t > \lambda$ . O denominador está com os sinais trocados. Essa expressão seria o resultado da integral se o expoente fosse $e^{-(t - \lambda)x}$ , o que não é o caso. Além disso, a condição $t > \lambda$ faria a integral original divergir, pois $\lambda - t < 0$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $m_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda + t}$ , com $t > 0$ . O sinal de $+$ no denominador está errado. Essa expressão corresponderia à fgm de uma distribuição com densidade $\lambda e^{+\lambda x}$ , que não é uma densidade válida (não integra a 1). A confusão provavelmente vem de trocar o sinal do expoente na integral.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $m_X(t) = \frac{\lambda + t}{\lambda}$ , que é outra inversão da expressão correta. Esse formato não tem relação com a integral da definição e não representa a fgm de nenhuma distribuição comum.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a inversão da fração e a troca de sinais no denominador. O candidato que decora a fórmula sem entender a origem pode confundir $\frac{\lambda}{\lambda - t}$ com $\frac{\lambda - t}{\lambda}$ (alternativa A) ou com $\frac{\lambda}{t - \lambda}$ (alternativa C). A chave é lembrar que a fgm é uma esperança $E[e^{tX}]$ : ao calcular a integral, o denominador $\lambda - t$ surge naturalmente do expoente $-(\lambda - t)x$ , e a condição $t < \lambda$ garante a convergência. Com esse raciocínio, você elimina as alternativas erradas sem depender de memorização.

Gabarito: letra B.