GabaritoA — 1 e 8.
Gabarito: letra A. Quando X ~ N(4, 4) e Y ~ N(3, 4) são independentes, a diferença X – Y também segue distribuição normal, com média igual à diferença das médias (4 – 3 = 1) e variância igual à soma das variâncias (4 + 4 = 8), pois a variância de uma diferença de variáveis independentes é a soma das variâncias individuais. Essa é a propriedade de reprodutividade da distribuição normal sob combinações lineares.
A questão explora uma propriedade central da distribuição normal: se X e Y são normais independentes, qualquer combinação linear aX + bY também é normal. Para a média, vale a linearidade da esperança: E(X – Y) = E(X) – E(Y). Para a variância, como X e Y são independentes, a covariância é zero, e a variância da diferença é a soma das variâncias: Var(X – Y) = Var(X) + Var(Y). O erro clássico é subtrair as variâncias (ou somar as médias), confundindo o sinal da operação entre as variáveis com a operação entre os parâmetros.
A notação N(μ, σ²) indica que o segundo parâmetro é a variância, não o desvio padrão. Aqui, X ~ N(4, 4) significa média 4 e variância 4; Y ~ N(3, 4) significa média 3 e variância 4. Portanto, X – Y ~ N(1, 8).
A média é 4 – 3 = 1 e a variância é 4 + 4 = 8. A alternativa espelha exatamente a propriedade: para variáveis independentes, a variância da diferença é a soma das variâncias, e a média é a diferença das médias.
Apresenta média 1 e variância 16. A média está correta, mas a variância 16 seria o resultado se as variâncias fossem multiplicadas (4 × 4) ou se cada variável tivesse variância 8. Não há operação que justifique 16 a partir de duas variâncias iguais a 4.
Apresenta média 7 e variância 8. A variância está correta, mas a média 7 corresponde à soma das médias (4 + 3), não à diferença. O candidato que confunde X – Y com X + Y cai nessa alternativa.
Apresenta média 7 e variância 16. Erra tanto na média (usou soma em vez de diferença) quanto na variância (inventou 16). É a combinação dos dois erros anteriores.
Apresenta média –1 e variância 16. A média –1 seria o resultado de Y – X (3 – 4), invertendo a ordem da subtração. A variância 16 também está errada, pelos mesmos motivos da alternativa B.
A banca explora a confusão entre a operação entre as variáveis (X – Y) e a operação entre os parâmetros. Muita gente subtrai as variâncias (4 – 4 = 0) ou soma as médias (4 + 3 = 7). Lembre-se: para variáveis independentes, a variância da diferença é sempre a soma das variâncias, independentemente do sinal da combinação linear.
Na hora da prova, escreva as propriedades antes de calcular: E(aX ± bY) = aE(X) ± bE(Y) e Var(aX ± bY) = a²Var(X) + b²Var(Y) quando X e Y são independentes. Isso evita o erro de subtrair variâncias e garante a resposta em segundos.
Gabarito: letra A.
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