Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg100010

Valor esperado de X + Y com densidade conjunta

Gabarito: letra B. O valor de E[X + Y] é 7/6. Pela linearidade da esperança, E[X + Y] = E[X] + E[Y]; como a densidade conjunta é simétrica em x e y, E[X] = E[Y], e cada uma vale 7/12, de modo que a soma é 7/6. O cálculo exige integrar a função densidade conjunta para obter as marginais e então aplicar a definição de esperança para variável contínua.

A questão trabalha com uma função densidade de probabilidade conjunta definida no quadrado unitário (0 < x < 1, 0 < y < 1). O primeiro passo é verificar que ela é uma densidade válida — a integral dupla sobre o domínio deve ser 1 — e depois calcular as esperanças marginais. Como a função f(x, y) = x + y é simétrica na troca de x por y, as marginais de X e de Y são idênticas, o que simplifica o problema: basta calcular E[X] e dobrar o resultado.

A densidade marginal de X é obtida integrando a conjunta em relação a y, tratando x como constante:

f_X(x) = \int_0^1 (x + y)\,dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = x + \frac{1}{2}

Com a marginal em mãos, a esperança de X é:

E[X] = \int_0^1 x \cdot f_X(x)\,dx = \int_0^1 x\left(x + \frac{1}{2}\right)dx = \int_0^1 \left(x^2 + \frac{x}{2}\right)dx

E[X] = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}

Pela simetria, E[Y] = 7/12 também. Aplicando a linearidade da esperança — propriedade que vale para quaisquer variáveis aleatórias, independentes ou não — temos:

E[X + Y] = E[X] + E[Y] = \frac{7}{12} + \frac{7}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}

A pegadinha clássica aqui é tentar calcular E[X + Y] diretamente pela integral dupla de (x + y)·f(x, y) e errar na aritmética das frações, ou esquecer de que a linearidade dispensa o cálculo da distribuição da soma. Outro erro comum é confundir a esperança com a média da função densidade (que seria 1, pois a integral de f sobre o quadrado é 1) — mas esperança é a média da variável, não da densidade.

1Obter marginal f_X(x)
2Calcular E[X]
3Usar simetria: E[Y] = E[X]
4Somar: E[X+Y] = 2·E[X]

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 5/6 (≈ 0,833) é menor que o correto. Ele corresponderia a E[X] = E[Y] = 5/12, o que não ocorre: cada marginal vale 7/12. Provavelmente o candidato errou ao integrar a marginal ou ao somar as frações.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, E[X] = E[Y] = 7/12, e pela linearidade E[X + Y] = 7/6. A alternativa espelha exatamente o resultado da soma das duas esperanças marginais.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 3/2 = 1,5 é o resultado de E[X] + E[Y] se cada esperança fosse 3/4. Isso aconteceria se a marginal fosse f_X(x) = 1 (uniforme), mas aqui a marginal é x + 1/2, que dá mais peso a valores altos de x, elevando a esperança para 7/12 — ainda assim abaixo de 3/4.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 5/4 = 1,25 é o dobro de 5/8. Se o candidato calculasse E[X] = 5/8 (erro comum ao integrar x·(x + 1/2) de forma incorreta), chegaria a 5/4. O cálculo correto da integral de x² + x/2 de 0 a 1 é 1/3 + 1/4 = 7/12, não 5/8.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 6/5 = 1,2 não corresponde a nenhuma combinação simples das esperanças marginais corretas. É um distrator numérico sem fundamento no problema — não há como obter 6/5 a partir de E[X] = E[Y] = 7/12.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de densidade conjunta, sempre verifique primeiro se a função é simétrica — isso corta o trabalho pela metade. Calcule uma marginal, obtenha a esperança e dobre. E lembre: a linearidade da esperança vale sempre, independentemente de independência. Pratique integrais duplas em domínios retangulares, pois são as mais frequentes em provas.

Gabarito: letra B