Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

Distribuição Binomial e Aproximação Normal: probabilidade de ao menos 50 favoráveis

Gabarito: letra A (0,002). A probabilidade de que, dos 100 sorteados, ao menos 50 sejam favoráveis é aproximadamente 0,002. Isso porque o número de favoráveis segue uma distribuição binomial com $n=100$ e $p=0,36$, cuja média é $\mu = np = 36$ e o desvio padrão é $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0,36 \times 0,64} = \sqrt{23,04} \approx 4,8$. Padronizando $X \geq 50$ com correção de continuidade, obtemos $Z \approx 2,81$, e a área à direita desse valor na normal padrão é cerca de 0,002.

A questão explora a aproximação da distribuição binomial pela normal, um caso clássico do Teorema Central do Limite. Quando $n$ é grande e $p$ não é extremamente próximo de 0 ou 1, a binomial $Bin(n,p)$ pode ser aproximada por uma normal com mesma média e variância. Aqui, $n=100$ e $p=0,36$ satisfazem os critérios usuais ($np \geq 5$ e $n(1-p) \geq 5$), então a aproximação é válida.

O ponto central é padronizar corretamente e, principalmente, aplicar a correção de continuidade, pois estamos aproximando uma variável discreta (número de favoráveis) por uma contínua. Sem a correção, o resultado muda sensivelmente e pode levar a uma alternativa errada.

Vamos ao cálculo passo a passo:

1. Parâmetros da binomial: $n = 100$, $p = 0,36$, $q = 1-p = 0,64$.

2. Média: $\mu = np = 100 \times 0,36 = 36$.

3. Variância: $\sigma^2 = npq = 100 \times 0,36 \times 0,64 = 23,04$.

4. Desvio padrão: $\sigma = \sqrt{23,04} \approx 4,8$.

5. Correção de continuidade: para $P(X \geq 50)$, usamos $P(X \geq 49,5)$.

6. Padronização: $Z = \dfrac{49,5 - 36}{4,8} = \dfrac{13,5}{4,8} = 2,8125$.

7. Probabilidade: $P(Z \geq 2,8125) \approx 0,00246$ (área na cauda direita da normal padrão).

O valor mais próximo nas alternativas é 0,002.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É o valor obtido pelo cálculo correto com aproximação normal e correção de continuidade: $P(X \geq 50) \approx 0,002$. A conta: $Z = \frac{49,5 - 36}{4,8} \approx 2,81$, e a área à direita é aproximadamente 0,002.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,09 seria o resultado se a média fosse 40 e o desvio 6, por exemplo, mas não corresponde aos parâmetros do problema. Também poderia surgir de um erro de padronização (usar $Z = 1,34$), mas não há base nos dados.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,15 é um valor que apareceria se a média fosse 42 e o desvio 5, ou se o candidato usasse $p = 0,5$ e calculasse $P(Z \geq 1,04)$, mas não reflete a proporção de 36%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

0,20 seria a probabilidade de $Z \geq 0,84$, o que ocorreria se a média fosse 45 e o desvio 6. Não há relação com os dados do enunciado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,50 é a probabilidade de $Z \geq 0$, que ocorreria se a média fosse 50 (ou seja, se $p = 0,5$). É o distrator clássico para quem confunde a proporção populacional de 36% com 50%.

Gabarito: letra A