Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg100012

Distribuição Binomial: probabilidade de exatamente um sucesso

Gabarito: letra D. A probabilidade de exatamente um indivíduo apresentar a síndrome em uma amostra de 4, com probabilidade de sucesso p = 0,10, é dada pela distribuição binomial: $P(X=1) = \binom{4}{1} \cdot 0,10^1 \cdot 0,90^3 = 4 \cdot 0,10 \cdot 0,729 = 0,2916$ , aproximadamente 0,30.

A questão envolve uma variável aleatória discreta que conta o número de sucessos (indivíduos com a síndrome) em um número fixo de tentativas independentes (n = 4), cada uma com a mesma probabilidade de sucesso (p = 0,10). Esse é exatamente o cenário da distribuição binomial, cuja função de probabilidade é:

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

onde $\binom{n}{k}$ é o número de combinações de n elementos tomados k a k. No caso, queremos k = 1 sucesso em n = 4 tentativas, com p = 0,10 e (1-p) = 0,90.

A pegadinha mais comum aqui é esquecer o coeficiente binomial — muitos candidatos calculam apenas $0,10 \times 0,90^3 = 0,0729$ , o que daria aproximadamente 0,07 (nem aparece nas alternativas). O fator $\binom{4}{1} = 4$ é essencial, pois o indivíduo com a síndrome pode ser o primeiro, o segundo, o terceiro ou o quarto da amostra — são 4 sequências igualmente prováveis.

Distribuição binomial: sucesso vs. fracasso — só Com síndrome: 0,10; só Sem síndrome: 0,90; Com síndrome∩Sem síndrome: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,05 não corresponde a nenhum termo relevante do cálculo. Ele é menor que a probabilidade de qualquer configuração específica (por exemplo, $0,10 \times 0,90^3 = 0,0729$ ). Provavelmente é um distrator aleatório.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,10 é a probabilidade de um único indivíduo ter a síndrome (p), mas não a probabilidade de exatamente um na amostra de 4. Esse valor ignora tanto o coeficiente binomial quanto a probabilidade dos outros três não terem a síndrome.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,20 é um valor intermediário que não surge do cálculo correto. Pode ser uma tentativa de aproximar mentalmente, mas o resultado exato é 0,2916, que arredonda para 0,30.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula binomial com n = 4, k = 1, p = 0,10:

P(X=1) = \binom{4}{1} \cdot 0,10^1 \cdot 0,90^3 = 4 \cdot 0,10 \cdot 0,729 = 0,2916 \approx 0,30

O valor 0,2916 arredondado para duas casas decimais é 0,29, mas a alternativa mais próxima é 0,30 (letra D). A banca pede "aproximadamente igual a", então 0,30 é a resposta correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,40 é um valor superestimado. Se o aluno confundisse a probabilidade de "pelo menos um" (que seria $1 - 0,90^4 = 0,3439$ ) ou errasse o expoente, poderia chegar perto, mas o cálculo correto para "apenas um" é 0,2916.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a omissão do coeficiente binomial. Se você calcular apenas $0,10 \times 0,90^3 = 0,0729$ , não encontrará esse valor nas alternativas — sinal de que falta multiplicar por 4. Lembre-se: em uma amostra de 4, o indivíduo com a síndrome pode ocupar qualquer uma das 4 posições, então há 4 sequências possíveis. Com esse raciocínio, você chega direto a 0,2916 ≈ 0,30.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de distribuição binomial, monte o esquema: (1) identifique n (número de tentativas), k (número de sucessos desejado) e p (probabilidade de sucesso); (2) aplique a fórmula $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ ; (3) não esqueça do coeficiente binomial — ele é o erro mais comum. Treine com valores pequenos de n (2, 3, 4) para fixar o padrão.

Gabarito: letra D