Questão de Estatística — Funções de Probabilidade p(x) e Densidade f(x) — FGV 2024

Função de distribuição acumulada conjunta

Gabarito: letra E. A função de distribuição acumulada conjunta no ponto (2; 3) é 6/16. Isso porque $F_{X,Y}(2,3) = P(X \leq 2, Y \leq 3)$, e contando os pares ordenados $(x, y)$ com $x \in \{1,2\}$ e $y \leq 3$ (sendo $y$ o maior dos dois números), obtemos exatamente 6 resultados favoráveis em 16 possíveis.

A questão cobra o conceito de função de distribuição acumulada conjunta para variáveis aleatórias discretas. Diferentemente da função de probabilidade conjunta, que dá a probabilidade de um par específico, a acumulada soma todas as probabilidades dos pares que satisfazem as desigualdades simultâneas $X \leq x$ e $Y \leq y$. No caso, queremos $F_{X,Y}(2,3) = P(X \leq 2 \text{ e } Y \leq 3)$.

Como os sorteios são com reposição, o espaço amostral tem $4 \times 4 = 16$ resultados igualmente prováveis. Vamos listar os pares $(x, y)$ onde $x$ é o primeiro número e $y$ é o maior dos dois (ou o próprio número, se forem iguais):

• Para $x = 1$: $y$ pode ser 1, 2, 3 ou 4 (pois o segundo número pode ser qualquer um).

• Para $x = 2$: $y$ pode ser 2, 3 ou 4 (se o segundo for 1, $y = 2$; se for 2, $y = 2$; se for 3, $y = 3$; se for 4, $y = 4$).

• Para $x = 3$: $y$ pode ser 3 ou 4.

• Para $x = 4$: $y$ só pode ser 4.

A condição $X \leq 2$ restringe $x$ a 1 ou 2. A condição $Y \leq 3$ restringe $y$ a 1, 2 ou 3. Contando os pares que satisfazem ambas:

• $x = 1$: $y$ pode ser 1, 2 ou 3 → 3 pares: (1,1), (1,2), (1,3).

• $x = 2$: $y$ pode ser 2 ou 3 → 2 pares: (2,2), (2,3).

Total: $3 + 2 = 5$ pares? Não! Aqui está a pegadinha: o par (1,2) significa que o primeiro número é 1 e o maior dos dois é 2. Isso ocorre quando o segundo número é 2 (pois 2 > 1). Mas o par (1,2) também ocorre se o segundo número for 1? Não, porque se o segundo for 1, o maior é 1, não 2. Então cada par $(x, y)$ listado acima corresponde a um único resultado do espaço amostral? Vamos verificar com cuidado.

Na verdade, a variável $Y$ é definida como o maior dos dois números. Para cada par ordenado de bolas $(a, b)$ (primeira e segunda), temos $x = a$ e $y = \max(a, b)$. Vamos listar todos os 16 resultados e seus respectivos $(x, y)$:

Agora, contando os resultados com $x \leq 2$ e $y \leq 3$:

• (1,1): $x=1 \leq 2$, $y=1 \leq 3$ → conta.

• (1,2): $x=1 \leq 2$, $y=2 \leq 3$ → conta.

• (1,3): $x=1 \leq 2$, $y=3 \leq 3$ → conta.

• (2,1): $x=2 \leq 2$, $y=2 \leq 3$ → conta.

• (2,2): $x=2 \leq 2$, $y=2 \leq 3$ → conta.

• (2,3): $x=2 \leq 2$, $y=3 \leq 3$ → conta.

Total: 6 resultados. Portanto, $F_{X,Y}(2,3) = \frac{6}{16}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

2/16 seria a probabilidade de apenas dois resultados, mas há seis resultados favoráveis. Esse número não corresponde a nenhuma contagem parcial óbvia.

Alternativa B — ❌ Incorreta

3/16 corresponderia a contar apenas os pares com $x=1$ (3 resultados), esquecendo os casos com $x=2$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

4/16 seria a contagem se considerássemos apenas os pares $(x,y)$ com $x \leq 2$ e $y \leq 3$ como combinações únicas (2 valores de $x$ × 2 valores de $y$ = 4), ignorando que o par (2,2) tem dois resultados associados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

5/16 seria a contagem se esquecêssemos um dos resultados, por exemplo, o par (2,1) que também gera $(x,y) = (2,2)$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

6/16 é exatamente a contagem correta dos seis resultados favoráveis: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2) e (2,3).

Gabarito: letra E