Questão de Estatística — Distribuição Poisson — FGV 2024

Processo de Poisson e a Distribuição do Tempo entre Ocorrências

Gabarito: letra A. Em um processo de Poisson com taxa média de ocorrências $\lambda$, o tempo decorrido entre duas ocorrências consecutivas segue uma distribuição exponencial com o mesmo parâmetro $\lambda$. Como a taxa é de 5 ocorrências por dia, $X \sim \text{Exp}(5)$ — a alternativa A reproduz exatamente essa relação.

A distribuição de Poisson modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo, quando os eventos são independentes e ocorrem a uma taxa constante. Já a distribuição exponencial modela o tempo entre esses eventos. Essa dualidade é um dos resultados mais importantes da teoria de processos estocásticos: se o número de eventos em um intervalo segue Poisson com parâmetro $\lambda t$, então o tempo de espera até o próximo evento segue exponencial com parâmetro $\lambda$.

No enunciado, a taxa média é $\lambda = 5$ ocorrências por dia. O fato de uma ocorrência ter acabado de acontecer é irrelevante para a distribuição do tempo até a próxima — a propriedade de falta de memória da exponencial garante que o tempo de espera não depende de quanto tempo já passou desde o último evento. Assim, $X$ tem distribuição exponencial com parâmetro 5.

A pegadinha da questão está em confundir a distribuição do número de eventos (Poisson) com a distribuição do tempo entre eventos (exponencial). A banca oferece alternativas com distribuições discretas (binomial) e até uma distribuição contínua sem relação com o contexto (Cauchy), mas apenas a exponencial é compatível com a modelagem do tempo de espera em um processo de Poisson.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa afirma que $X$ tem distribuição exponencial com parâmetro 5. Isso está correto: em um processo de Poisson com taxa $\lambda$, o tempo entre ocorrências consecutivas segue $\text{Exp}(\lambda)$. Como $\lambda = 5$, temos $X \sim \text{Exp}(5)$. A função densidade de probabilidade é $f(x) = 5e^{-5x}$ para $x \geq 0$, com média $E(X) = 1/5 = 0,2$ dias.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o parâmetro é 0,5. Esse valor não corresponde à taxa média do processo. O parâmetro da exponencial é exatamente a taxa $\lambda = 5$ ocorrências por dia, não 0,5. O número 0,5 poderia ser uma confusão com o inverso da taxa (1/5 = 0,2) ou com algum outro valor, mas não tem relação com o enunciado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A distribuição de Cauchy é uma distribuição contínua com caudas pesadas, usada em contextos específicos (como razão de variáveis normais), e não tem relação com o tempo entre eventos de um processo de Poisson. Os parâmetros 5 e 24 não correspondem a nenhuma característica do problema — o 24 poderia ser uma referência a horas do dia, mas não há base para isso.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A distribuição binomial modela o número de sucessos em $n$ tentativas independentes, com probabilidade de sucesso $p$. No contexto do enunciado, não há um número fixo de tentativas nem uma probabilidade de sucesso — o processo é contínuo no tempo, e a variável $X$ é o tempo até o próximo evento, não uma contagem. Os parâmetros $n = 24$ e $p = 0,222$ são arbitrários e não derivam dos dados.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Assim como a alternativa D, a binomial é inadequada para modelar o tempo entre eventos. Além disso, os parâmetros $n = 5$ e $p = 0,1$ não têm relação com a taxa de 5 ocorrências por dia. A banca tenta confundir o candidato com valores que lembram a taxa, mas a distribuição correta é contínua, não discreta.

Gabarito: letra A.