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Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

EstatísticaCálculo de Probabilidades
Código
fg100015
Banca
FGV
Órgão
TJ-RR
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Analista Judiciário - Estatística
Uma variável aleatória X tem função de densidade de probabilidade dada por:f(x) = kx² , se -1 < x < 1 e f(x) = 0, nos demais casos, k constante.A variância de X é então igual a
  1. A1/5.
  2. B1/4.
  3. C1/3.
  4. D2/5.
  5. E3/5.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 3/5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Variância de uma variável aleatória contínua com densidade f(x) = kx²

Gabarito: letra E. A variância de X é 3/5. Para chegar a esse valor, primeiro determinamos a constante k impondo que a integral da função densidade sobre todo o domínio seja igual a 1; em seguida, calculamos E[X] e E[X²] e aplicamos a fórmula Var(X) = E[X²] − (E[X])². Como a densidade é simétrica em torno de zero, E[X] = 0, o que simplifica o cálculo.

A questão exige o domínio de dois conceitos fundamentais de probabilidade: (1) a condição de normalização de uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) — a área total sob a curva deve ser 1; e (2) a definição de variância para variáveis aleatórias contínuas, que envolve o cálculo de integrais de momentos. Vamos resolver passo a passo.

Passo 1 — Determinar a constante k.

A função densidade é dada por f(x) = kx² para −1 < x < 1 e 0 caso contrário. Para que f seja uma f.d.p. válida, devemos ter:

∫−∞∞f(x) dx=1\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1

Como f(x) = 0 fora do intervalo (−1, 1), a integral se reduz a:

∫−11kx2 dx=1\int_{-1}^{1} kx^2\,dx = 1

Calculando a integral:

k∫−11x2 dx=k[x33]−11=k(13−(−1)33)=k(13+13)=2k3k \int_{-1}^{1} x^2\,dx = k \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = k \left( \frac{1}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \right) = k \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right) = \frac{2k}{3}

Igualando a 1:

2k3=1⇒k=32\frac{2k}{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{3}{2}

Portanto, a densidade é f(x) = (3/2)x² para −1 < x < 1.

Passo 2 — Calcular E[X].

E[X]=∫−11x⋅32x2 dx=32∫−11x3 dx=32[x44]−11=32(14−14)=0E[X] = \int_{-1}^{1} x \cdot \frac{3}{2}x^2\,dx = \frac{3}{2} \int_{-1}^{1} x^3\,dx = \frac{3}{2} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{1} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right) = 0

Como esperado, a função é simétrica em torno de zero, então a média é zero.

Passo 3 — Calcular E[X²].

E[X2]=∫−11x2⋅32x2 dx=32∫−11x4 dx=32[x55]−11=32(15−(−1)55)=32⋅25=35E[X^2] = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \frac{3}{2}x^2\,dx = \frac{3}{2} \int_{-1}^{1} x^4\,dx = \frac{3}{2} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \frac{3}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{(-1)^5}{5} \right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

Passo 4 — Calcular a variância.

Var(X)=E[X2]−(E[X])2=35−02=35\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{3}{5} - 0^2 = \frac{3}{5}

Portanto, a variância é 3/5, o que corresponde à alternativa E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1/5 seria obtido se, por engano, o candidato calculasse apenas E[X²] sem considerar a constante k corretamente, ou se confundisse a integral de x⁴ com a de x². Não há nenhuma etapa do cálculo que resulte em 1/5.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 1/4 é um distrator comum: pode surgir se o candidato calcular E[X²] como se a densidade fosse uniforme (1/2) e depois aplicasse a fórmula da variância da distribuição uniforme, ou se errar a integração de x⁴. Não corresponde ao resultado correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 1/3 é a integral de x² no intervalo (−1, 1) sem a constante k (resultaria 2/3, não 1/3). Também poderia ser confundido com o valor de k se o candidato não normalizasse corretamente. Não é a variância.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 2/5 é a integral de x⁴ no intervalo (−1, 1) sem a constante k (resultaria 2/5). O candidato que esquece de multiplicar por k = 3/2 chegaria a esse número. É um distrator clássico.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a variância é 3/5. O cálculo completo envolve a normalização da densidade (k = 3/2), o cálculo de E[X] = 0 e E[X²] = 3/5, e a aplicação da fórmula Var(X) = E[X²] − (E[X])².

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa do candidato: muitos esquecem de determinar a constante k e calculam E[X²] como se a densidade já estivesse normalizada, obtendo 2/5 (alternativa D). Outros confundem a integral de x² com a de x⁴. O passo crucial é sempre verificar se a função densidade está normalizada antes de calcular momentos.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de variância de variável contínua, siga sempre a sequência: (1) normalize a densidade (integral = 1) para achar k; (2) calcule E[X] e E[X²] usando integrais; (3) aplique Var(X) = E[X²] − (E[X])². Se a densidade for simétrica em torno de zero, E[X] = 0, o que simplifica bastante. Treine com exercícios de densidades polinomiais para fixar o método.

Gabarito: letra E

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