Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg100017

Esperança de uma Variável Aleatória Discreta

Gabarito: letra E. A média (esperança) de X é 1,0. Isso decorre da definição de valor esperado para uma variável aleatória discreta, $E[X] = \sum x \cdot p(x)$ , aplicada à função de probabilidade dada, que é uma distribuição geométrica com parâmetro $p = 0,5$ , cuja esperança é $E[X] = \frac{1-p}{p} = \frac{0,5}{0,5} = 1$ .

A questão apresenta uma variável aleatória discreta X que assume valores inteiros não negativos (0, 1, 2, 3, ...) com probabilidade $p(x) = 0,5^{x+1}$ (já que $0,5 \cdot 0,5^x = 0,5^{x+1}$ ). Essa é a forma da distribuição geométrica que conta o número de fracassos antes do primeiro sucesso, com parâmetro $p = 0,5$ . Para essa distribuição, a esperança (média) é conhecida e dada por $E[X] = \frac{1-p}{p}$ . Substituindo $p = 0,5$ , temos $E[X] = \frac{1-0,5}{0,5} = \frac{0,5}{0,5} = 1$ .

Vamos verificar isso diretamente pela definição de esperança, que é a soma de cada valor possível multiplicado pela sua probabilidade:

E[X] = \sum_{x=0}^{\infty} x \cdot p(x) = \sum_{x=0}^{\infty} x \cdot 0,5^{x+1}

Essa soma pode ser calculada usando a identidade para séries geométricas: $\sum_{x=0}^{\infty} x \cdot r^x = \frac{r}{(1-r)^2}$ para $|r| < 1$ . Aqui, $r = 0,5$ , então:

E[X] = 0,5 \cdot \sum_{x=0}^{\infty} x \cdot 0,5^x = 0,5 \cdot \frac{0,5}{(1-0,5)^2} = 0,5 \cdot \frac{0,5}{0,25} = 0,5 \cdot 2 = 1

Portanto, a média de X é exatamente 1,0.

1Identificar p(x) = 0,5^(x+1)
2Reconhecer geométrica (fracassos)
3Aplicar E[X] = (1-p)/p
4E[X] = 0,5/0,5 = 1

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,3 não corresponde a nenhum cálculo direto da esperança. Ele poderia surgir de um erro ao calcular a soma da série ou ao confundir a média com outra medida, mas não há base teórica para esse número.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,4 também não é a esperança correta. Poderia ser um erro ao aplicar a fórmula da geométrica de forma equivocada, como usar $E[X] = p$ ou $E[X] = 1-p$ sem a divisão correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 0,5 é a probabilidade de sucesso $p$ , não a média. É comum confundir o parâmetro da distribuição com a sua esperança. Para a geométrica que conta fracassos, a média é $\frac{1-p}{p}$ , que não é igual a $p$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,8 não tem relação com o cálculo da esperança para essa distribuição. Poderia ser um erro de arredondamento ou de aplicação de outra fórmula, mas não é o resultado correto.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A média é 1,0, conforme demonstrado pela aplicação direta da definição de esperança e pela fórmula da distribuição geométrica com $p = 0,5$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o parâmetro da distribuição geométrica ( $p = 0,5$ ) e a sua média. Muitos candidatos marcam 0,5 (alternativa C) por acharem que a média é igual à probabilidade de sucesso. Lembre-se: para a geométrica que conta o número de fracassos, a média é $\frac{1-p}{p}$ , e não $p$ .

PEGA ESSA DICA!

Ao identificar uma distribuição geométrica, anote as duas fórmulas: $E[X] = \frac{1-p}{p}$ (número de fracassos) e $E[Y] = \frac{1}{p}$ (número de tentativas até o primeiro sucesso). Isso evita erros na hora da prova.

Gabarito: letra E