Questão de Estatística — Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência — FGV 2024

Probabilidade: limites de união e interseção com eventos de probabilidades dadas

Gabarito: letra D — corretos apenas os itens II e III. A afirmativa I é falsa porque A e B podem ser independentes: a condição de independência é $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}6 \times 0{,}8 = 0{,}48$, e esse valor é perfeitamente compatível com as probabilidades dadas (basta que a interseção seja 0,48). Já os itens II e III estão corretos: o maior valor possível de $P(A \cup B)$ é 1,0 (quando a interseção é mínima, 0,4) e o maior valor possível de $P(A \cap B)$ é 0,6 (quando A está contido em B).

A questão explora os limites extremos que as probabilidades de união e interseção podem assumir, dados apenas $P(A)$ e $P(B)$. Para resolvê-la, precisamos lembrar de duas relações fundamentais:

1. Fórmula da união: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

2. Limites da interseção: $P(A \cap B)$ nunca pode ser menor que $P(A) + P(B) - 1$ (pois $P(A \cup B) \le 1$) e nunca pode ser maior que o menor dos dois valores, $\min(P(A), P(B))$ (pois a interseção está contida em cada evento).

Com $P(A) = 0{,}6$ e $P(B) = 0{,}8$, temos:

• Interseção mínima: $P(A \cap B)_{\min} = 0{,}6 + 0{,}8 - 1 = 0{,}4$.

• Interseção máxima: $P(A \cap B)_{\max} = \min(0{,}6; 0{,}8) = 0{,}6$ (ocorre quando $A \subset B$).

A partir daí, a união varia entre:

• União mínima: $P(A \cup B)_{\min} = \max(P(A), P(B)) = 0{,}8$ (quando $A \subset B$).

• União máxima: $P(A \cup B)_{\max} = 1{,}0$ (quando a interseção é mínima, 0,4).

A pegadinha da questão está na afirmativa I: muitos candidatos pensam que, como $P(A) + P(B) = 1{,}4 > 1$, os eventos não poderiam ser independentes. Mas a independência não exige que a soma das probabilidades seja menor ou igual a 1 — ela exige apenas que a interseção seja o produto das probabilidades. Como $0{,}48$ está dentro do intervalo possível $[0{,}4; 0{,}6]$, a independência é perfeitamente viável.

Item I — ❌ Incorreto

Afirma que A e B não podem ser independentes. Isso é falso. Para serem independentes, basta que $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}6 \times 0{,}8 = 0{,}48$. Esse valor está dentro do intervalo possível da interseção, que vai de 0,4 a 0,6. Portanto, podem ser independentes — a afirmativa erra ao usar "não podem".

Item II — ✅ Correto

O maior valor possível de $P(A \cup B)$ é, de fato, 1,0. Isso ocorre quando a interseção é mínima, ou seja, $P(A \cap B) = 0{,}4$. Aplicando a fórmula da união: $P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}8 - 0{,}4 = 1{,}0$. Como a probabilidade não pode exceder 1, esse é o máximo absoluto.

Item III — ✅ Correto

O maior valor possível de $P(A \cap B)$ é 0,6, que é o menor valor entre $P(A)$ e $P(B)$. Isso ocorre quando o evento de menor probabilidade (A) está totalmente contido no de maior (B), ou seja, $A \subset B$. Nesse caso, $P(A \cap B) = P(A) = 0{,}6$.

Gabarito: letra D — corretos apenas os itens II e III.