Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

Valor esperado de custo com distribuição Normal

Gabarito: letra E (131). O custo esperado é calculado como a soma dos custos possíveis ponderados pelas probabilidades de ocorrência: $E[C] = 100 \times P(T \leq 12) + 200 \times P(T > 12)$. Padronizando $T \sim N(10, 4^2)$, temos $P(T > 12) = P(Z > 0,5) = 0,31$ e $P(T \leq 12) = 0,69$, resultando em $E[C] = 100 \times 0,69 + 200 \times 0,31 = 131$ mil reais.

A questão combina dois conceitos: a padronização de uma variável Normal qualquer para a Normal padrão e o cálculo do valor esperado de uma variável aleatória discreta (o custo, que assume apenas dois valores). O tempo de execução $T$ é contínuo, mas o custo $C$ é uma função degrau dele: $C = 100$ se $T \leq 12$ e $C = 200$ se $T > 12$. O valor esperado de $C$ é, portanto, uma média ponderada dos dois custos possíveis, usando as probabilidades de cada cenário.

O ponto central é transformar a condição "tempo de execução ultrapassa um ano" (12 meses) em um valor $z$ na Normal padrão. Com média $\mu = 10$ e desvio padrão $\sigma = 4$, o escore é $z = \frac{12 - 10}{4} = 0,5$. O enunciado fornece diretamente $P(Z > 0,5) = 0,31$, que é exatamente a probabilidade de o custo ser 200 mil. Por complementaridade, $P(Z \leq 0,5) = 1 - 0,31 = 0,69$, que é a probabilidade de o custo ser 100 mil.

A pegadinha clássica aqui é esquecer de converter o limite de 1 ano (12 meses) para a escala da variável, usando 10 ou 12 diretamente como se fossem escores $z$, ou então confundir qual probabilidade corresponde a cada custo. A banca também explora a necessidade de usar a probabilidade complementar corretamente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 102 seria obtido se a probabilidade de ultrapassar um ano fosse muito pequena, como $P(T > 12) = 0,02$ (que corresponde a $z = 2$, ou seja, 18 meses). Isso daria $E[C] = 100 \times 0,98 + 200 \times 0,02 = 102$. O erro está em usar o valor $z = 2$ em vez de $z = 0,5$, ignorando que o limite é 12 meses, não 18.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 107 resultaria de $P(T > 12) = 0,07$, que não corresponde a nenhum dos valores fornecidos no enunciado. Não há base para essa probabilidade; ela não deriva de nenhum escore $z$ dado. É um distrator numérico sem fundamento.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 116 viria de $P(T > 12) = 0,16$, que é $P(Z > 1) = 0,16$. Isso corresponderia a um limite de $10 + 1 \times 4 = 14$ meses, não 12. O erro está em usar $z = 1$ em vez de $z = 0,5$, confundindo o limite de 1 ano com 1 desvio padrão acima da média.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 125 seria obtido com $P(T > 12) = 0,25$, que não é um dos valores fornecidos. Também não corresponde a nenhum escore $z$ dado no enunciado. É um distrator sem base nos dados.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Com $z = 0,5$, temos $P(T > 12) = 0,31$ e $P(T \leq 12) = 0,69$. O custo esperado é:

Portanto, o valor esperado do custo é 131 mil reais.

Gabarito: letra E