Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg100817

Probabilidade total e distribuição binomial: aprovação de processos

Gabarito: letra D (5/16). A probabilidade de exatamente 2 dos 5 processos serem aprovados é 5/16, pois cada processo tem 50% de chance de aprovação (calculada pela probabilidade total) e o número de aprovações em 5 exames independentes segue uma distribuição binomial com n=5 e p=0,5. O cálculo é $P(X=2) = \binom{5}{2} \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^3 = 10 \cdot 0,25 \cdot 0,125 = 0,3125 = 5/16$ .

A questão combina dois conceitos centrais de probabilidade: o teorema da probabilidade total e a distribuição binomial. O primeiro é usado para encontrar a probabilidade de um evento que pode ocorrer por caminhos diferentes — aqui, aprovação vinda de um processo da categoria A ou da categoria B. O segundo modela o número de sucessos em um número fixo de tentativas independentes, todas com a mesma probabilidade de sucesso. A pegadinha da banca está em exigir os dois passos: muitos candidatos tentam aplicar a binomial direto com p=0,8 ou p=0,4, esquecendo que a probabilidade de aprovação de um processo qualquer é uma mistura das duas categorias.

Passo 1 — Probabilidade de aprovação de um processo qualquer (probabilidade total):

Do texto-base, sabemos que 25% dos processos são da categoria A e, portanto, 75% são da categoria B. As probabilidades condicionais de aprovação são:

$P(\text{aprovar}|A) = 0,8$
$P(\text{aprovar}|B) = 0,4$

Pelo teorema da probabilidade total:

P(\text{aprovar}) = P(A) \cdot P(\text{aprovar}|A) + P(B) \cdot P(\text{aprovar}|B)

P(\text{aprovar}) = 0,25 \cdot 0,8 + 0,75 \cdot 0,4 = 0,2 + 0,3 = 0,5

Ou seja, cada processo, independentemente da categoria, tem 50% de chance de ser aprovado. Esse é o valor de p que usaremos na binomial.

Passo 2 — Distribuição binomial:

Como os 5 processos são examinados de forma independente e cada um tem a mesma probabilidade de aprovação (p=0,5), o número de aprovações X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=5 e p=0,5. A probabilidade de exatamente k sucessos é dada por:

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Para k=2:

P(X=2) = \binom{5}{2} (0,5)^2 (0,5)^3 = 10 \cdot 0,25 \cdot 0,125 = 0,3125 = \frac{5}{16}

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade é 1/2 (0,5). Esse valor é a probabilidade de aprovação de um único processo (p=0,5), não a probabilidade de exatamente 2 aprovações em 5 tentativas. O candidato que marca esta alternativa confunde a probabilidade de sucesso individual com a probabilidade de um resultado específico da binomial. A probabilidade de exatamente 2 sucessos em 5 tentativas é bem menor, pois há 10 combinações possíveis de quais 2 processos serão aprovados, cada uma com probabilidade $(0,5)^5 = 1/32$ , totalizando $10/32 = 5/16$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade é 1/4 (0,25). Esse valor é a probabilidade de aprovar um processo da categoria A e reprovar um da categoria B (0,8 × 0,6 = 0,48, não exatamente 0,25), mas não corresponde a nenhum cálculo direto da questão. Na verdade, 1/4 é o valor de $(0,5)^2$ , que é a probabilidade de dois sucessos específicos, mas sem considerar as combinações. A probabilidade correta de exatamente 2 sucessos em 5 tentativas é 5/16, que é maior que 1/4.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade é 3/8 (0,375). Esse valor é a probabilidade de obter exatamente 2 sucessos em 4 tentativas com p=0,5 (pois $\binom{4}{2} (0,5)^4 = 6/16 = 3/8$ ), mas aqui temos 5 tentativas, não 4. O candidato que marca esta alternativa provavelmente errou o número de tentativas ou confundiu com outra combinação. Com n=5, a probabilidade de exatamente 2 sucessos é 10/32 = 5/16, que é menor que 3/8.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A probabilidade de exatamente 2 aprovações em 5 processos independentes, cada um com probabilidade de aprovação p=0,5, é calculada pela fórmula da binomial: $\binom{5}{2} (0,5)^2 (0,5)^3 = 10 \cdot 0,25 \cdot 0,125 = 0,3125 = 5/16$ . Este é o valor exato, e a alternativa está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade é 1/32 (0,03125). Esse valor é a probabilidade de uma sequência específica de 5 resultados (por exemplo, aprovar, aprovar, reprovar, reprovar, reprovar), que é $(0,5)^5 = 1/32$ . No entanto, como a ordem não importa e há 10 combinações possíveis de quais 2 processos serão aprovados, a probabilidade total é 10 × 1/32 = 10/32 = 5/16. O candidato que marca esta alternativa esquece de multiplicar pelo número de combinações.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a probabilidade de uma sequência específica (1/32) e a probabilidade de um número de sucessos (5/16). Além disso, muitos candidatos usam p=0,8 ou p=0,4 diretamente na binomial, esquecendo de calcular a probabilidade total de aprovação (0,5). Lembre-se: primeiro calcule p pela probabilidade total, depois aplique a binomial.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de binomial, sempre verifique se a probabilidade de sucesso é a mesma para todas as tentativas. Se houver categorias com probabilidades diferentes, use o teorema da probabilidade total para encontrar a probabilidade global antes de aplicar a fórmula. E não esqueça do coeficiente binomial: ele conta as combinações possíveis.

Gabarito: letra D