Questão de Estatística — Variável aleatória discreta — FGV 2024

Distribuição Binomial: desvio padrão do número de aprovações

Gabarito: letra B (1,5). O número de processos aprovados entre 9 examinados segue uma distribuição binomial com parâmetros $n = 9$ e $p = 0{,}5$ (probabilidade de aprovação de um processo qualquer), e o desvio padrão é dado por $\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{9 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5$.

A questão mistura dois conceitos: a probabilidade de aprovação condicionada à categoria do processo e a probabilidade global de aprovação. Como o analista examina processos que podem ser da categoria A ou B, a probabilidade de aprovar um processo qualquer (sem saber a categoria) é a média ponderada das probabilidades condicionadas, usando a proporção de cada categoria como peso. Essa é a probabilidade total de aprovação, que será o parâmetro $p$ da distribuição binomial.

Vamos calcular:

• $P(A) = 0{,}25$ (25% dos processos são da categoria A)

• $P(B) = 0{,}75$ (75% são da categoria B)

• $P(\text{aprovar} \mid A) = 0{,}8$

• $P(\text{aprovar} \mid B) = 0{,}4$

Pelo teorema da probabilidade total:

Agora, como os 9 processos são examinados de forma independente e cada um tem a mesma probabilidade $p = 0{,}5$ de ser aprovado, o número de aprovações $X$ segue uma distribuição binomial com $n = 9$ e $p = 0{,}5$. A variância de uma binomial é:

E o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

A pegadinha clássica aqui é tentar calcular o desvio padrão separadamente para cada categoria e depois combinar, ou usar apenas uma das probabilidades condicionadas (0,8 ou 0,4) como se fosse a probabilidade global. O passo crucial é primeiro encontrar a probabilidade global de aprovação pela lei da probabilidade total, e só então aplicar a fórmula da binomial.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 seria o desvio padrão se a variância fosse 1, o que ocorreria, por exemplo, com $n = 4$ e $p = 0{,}5$ ($\sqrt{4 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = 1$). Mas aqui $n = 9$, então o desvio padrão é maior. O candidato que erra aqui provavelmente usou $p = 0{,}8$ ou $p = 0{,}4$ isoladamente: com $p = 0{,}8$, $\sqrt{9 \times 0{,}8 \times 0{,}2} = \sqrt{1{,}44} \approx 1{,}2$; com $p = 0{,}4$, $\sqrt{9 \times 0{,}4 \times 0{,}6} = \sqrt{2{,}16} \approx 1{,}47$ — nenhum dá exatamente 1.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, a probabilidade global de aprovação é $p = 0{,}5$, e com $n = 9$ a variância é $9 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 2{,}25$, cuja raiz quadrada é exatamente $1{,}5$. Este é o valor que a banca pede, aproximadamente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 2 seria o desvio padrão se a variância fosse 4. Isso aconteceria, por exemplo, com $n = 16$ e $p = 0{,}5$ ($\sqrt{16 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = 2$). Com $n = 9$, a variância máxima possível é $9 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 2{,}25$ (quando $p = 0{,}5$), então o desvio padrão nunca chega a 2. O candidato que marca 2 provavelmente confundiu o desvio padrão com a variância ou usou $n = 16$ por engano.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 2,5 seria o desvio padrão se a variância fosse 6,25. Isso não corresponde a nenhuma combinação razoável com $n = 9$ e as probabilidades dadas. É um distrator numérico sem correspondência direta com os dados do problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 3 seria o desvio padrão se a variância fosse 9, o que exigiria $n = 36$ com $p = 0{,}5$. Com $n = 9$, o desvio padrão máximo é 1,5 (quando $p = 0{,}5$), então 3 é impossível. O candidato que marca 3 provavelmente confundiu o desvio padrão com o valor esperado (que é $n \cdot p = 9 \times 0{,}5 = 4{,}5$) ou usou $n = 36$ por engano.

Gabarito: letra B.