Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

Teorema de Bayes: probabilidade a posteriori

Gabarito: letra C (2/5). A questão pede a probabilidade de um processo aprovado pertencer à categoria A, ou seja, $P(A|Aprovado)$. Pelo Teorema de Bayes, essa probabilidade é calculada como a razão entre a probabilidade conjunta de ser da categoria A e ser aprovado e a probabilidade total de aprovação. Com os dados do enunciado, $P(A) = 0,25$, $P(Aprovado|A) = 0,8$ e $P(Aprovado|B) = 0,4$, o resultado é $\frac{0,25 \times 0,8}{0,25 \times 0,8 + 0,75 \times 0,4} = \frac{0,2}{0,5} = 0,4 = \frac{2}{5}$.

O Teorema de Bayes é a ferramenta central para revisar probabilidades quando se obtém uma informação nova. No problema, a informação nova é o fato de o processo ter sido aprovado. Antes de saber disso, a probabilidade de um processo ser da categoria A era de 25% (probabilidade a priori). Depois de saber que foi aprovado, essa probabilidade muda — e é exatamente isso que o teorema calcula: a probabilidade a posteriori.

A fórmula geral do Teorema de Bayes para dois eventos que particionam o espaço amostral (A e B) é:

O denominador é a probabilidade total de aprovação, que considera tanto os processos da categoria A quanto os da categoria B. É o que chamamos de Teorema da Probabilidade Total. Vamos aplicar os dados:

• $P(A) = 0,25$ (25% dos processos são da categoria A)

• $P(B) = 1 - 0,25 = 0,75$ (75% são da categoria B)

• $P(Aprovado|A) = 0,8$ (probabilidade de aprovar um processo da categoria A)

• $P(Aprovado|B) = 0,4$ (probabilidade de aprovar um processo da categoria B)

Substituindo:

A pegadinha clássica da banca é o candidato calcular apenas a probabilidade de aprovação de um processo da categoria A (0,8) ou a proporção de processos da categoria A (0,25), esquecendo de condicionar ao fato de o processo ter sido aprovado. O Teorema de Bayes exige que se considere o universo dos processos aprovados, que inclui tanto os aprovados da categoria A quanto os aprovados da categoria B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1/5 (0,2) corresponde apenas ao numerador da fórmula de Bayes: a probabilidade conjunta de o processo ser da categoria A e ser aprovado ($0,25 \times 0,8 = 0,2$). O candidato que calcula só isso esquece de dividir pela probabilidade total de aprovação, que é o que transforma a probabilidade conjunta em probabilidade condicional.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 1/4 (0,25) é simplesmente a probabilidade a priori de um processo ser da categoria A, sem considerar a informação de que o processo foi aprovado. É a resposta de quem não aplica o Teorema de Bayes e responde com o dado bruto do enunciado.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor 2/5 (0,4) é o resultado correto do Teorema de Bayes. A probabilidade de um processo aprovado pertencer à categoria A é de 40%. Isso faz sentido intuitivamente: embora apenas 25% dos processos sejam da categoria A, eles têm uma taxa de aprovação maior (80%) do que os da categoria B (40%), o que aumenta sua representatividade entre os aprovados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 1/2 (0,5) é a probabilidade total de aprovação ($0,2 + 0,3 = 0,5$), ou seja, o denominador da fórmula de Bayes. É a resposta de quem calcula a chance de um processo qualquer ser aprovado, mas não condiciona à categoria A.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 1/2 (0,5) é idêntico ao da alternativa D e incorre pelo mesmo motivo: representa a probabilidade total de aprovação, não a probabilidade condicional pedida. A repetição do valor é um distrator para testar se o candidato percebe que a resposta correta é outra.

Gabarito: letra C.