Problema de combinação linear de embalagens
Gabarito: letra B (20 embalagens). A equação é 6x + 11y = 190, com x e y inteiros não negativos. Para minimizar o total (x+y), devemos maximizar o número de embalagens maiores (y). Testando y = 14, obtemos x = 6, total 20 embalagens — a menor soma possível.
O problema recai em uma equação diofantina linear. Resolvendo por congruência: 6x ≡ 190 (mod 11) → 6x ≡ 3 (mod 11) → x ≡ 6 (mod 11) (pois 6×6=36≡3). Para x ≥ 0, os menores valores são x = 6, 17, 28... Calculando y correspondente:
x | y = (190-6x)/11 | total x+y |
|---|
6 | 14 | 20 |
17 | 8 | 25 |
28 | 2 | 30 |
A menor soma é 20. As demais alternativas são números que não podem ser obtidos com combinações inteiras:
Alternativa A — ❌ Incorreta
19 embalagens não é possível. Testando combinações: com 19 embalagens, a soma mínima seria se todas fossem de 6 kg (114 kg), mas o total é 190, exigiria muitas de 11 kg, mas não fecha a equação. De fato, a menor soma viável é 20.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
20 embalagens: 6 de 6 kg e 14 de 11 kg = 36 + 154 = 190 kg. É a combinação com menor número de embalagens.
Alternativa C — ❌ Incorreta
21 embalagens: poderia ser 15 de 6 kg (90 kg) + 6 de 11 kg (66 kg) = 156 kg; ou outras combinações, mas nenhuma atinge 190 kg. A equação 6x+11y=190 não tem solução para x+y=21 (testando y=5 → x= (190-55)/6 = 135/6=22,5; y=10 → x= (190-110)/6=80/6≈13,33; nenhum inteiro).
Alternativa D — ❌ Incorreta
22 embalagens: por exemplo, 8 de 6 kg (48) + 14 de 11 kg (154) = 202 >190; 10 de 6 kg (60) + 12 de 11 kg (132) = 192; 12 de 6 kg (72) + 10 de 11 kg (110) = 182; nenhuma combinação exata. A equação para total=22 não tem solução inteira.
Alternativa E — ❌ Incorreta
23 embalagens: analogamente, sem solução inteira para 6x+11y=190. Testando y=12 → x= (190-132)/6=58/6≈9,67; y=6 → x= (190-66)/6=124/6≈20,67; nenhum inteiro.
Gabarito: letra B