Questão de Matemática — Porcentagem — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 12% (alternativa B).

A ideia por trás

Porcentagem é uma forma de representar uma parte de um todo, onde o todo é 100%. Em problemas de conjuntos, usamos porcentagens para indicar quantos elementos pertencem a cada grupo. A união de dois conjuntos é a soma de todos os elementos que estão em pelo menos um deles, mas quando há elementos que pertencem aos dois (a interseção), eles são contados duas vezes, então precisamos subtrair uma vez. A fórmula da união é n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). Nesta questão, temos três grupos: os que consomem legumes, os que consomem verduras, e os que não consomem nenhum. O total de pessoas que consomem pelo menos um é 100% - 5% = 95%. Aplicando a fórmula da união, descobrimos a interseção.

O que a questão dá

• não consomem nem legumes nem verduras = 5%

• consomem legumes = 60%

• consomem verduras = 47%

O que queremos: a porcentagem de entrevistados que consomem tanto legumes quanto verduras

Passo 1 — Calcular quem consome pelo menos um

Precisamos saber quantos consomem legumes ou verduras (ou ambos) para usar na fórmula da união. Como 5% não consomem nenhum, o restante consome pelo menos um.

Por que esta fórmula: O total de pessoas que consomem pelo menos um é o complemento dos que não consomem nenhum. Em porcentagem, o todo é 100%, então subtraímos.

De onde vem cada valor: $P_{nenhum}$ = enunciado: 5%

Passo 2 — Aplicar a fórmula da união

Com o total de quem consome pelo menos um (95%), podemos relacionar com os percentuais de legumes e verduras. A fórmula da união diz que a soma dos dois grupos menos a interseção é igual ao total.

Por que esta fórmula: A união de dois conjuntos é a soma dos elementos de cada um, mas como os que estão nos dois são contados duas vezes, subtraímos a interseção uma vez. Essa é a fórmula correta para achar a interseção.

De onde vem cada valor: $n(L \cup V)$ = passo 1: 95% · $n(L)$ = enunciado: 60% · $n(V)$ = enunciado: 47%

Passo 3 — Isolar a interseção

Precisamos encontrar o valor de x, que é a interseção. Para isso, isolamos x na equação, passando os termos conhecidos para o outro lado.

Por que esta fórmula: A equação do passo anterior é uma igualdade simples; para achar x, subtraímos 95% de 107%.

De onde vem cada valor: $60\%$ = enunciado: consomem legumes · $47\%$ = enunciado: consomem verduras · $95\%$ = passo 1

Resposta: 12% (alternativa B)