Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg101909

Distância de um ponto ao eixo das abscissas

Gabarito: letra E. O ponto do eixo X mais próximo de P(3,4) é aquele que tem a mesma abscissa de P, ou seja, (3,0), pois a distância é medida perpendicularmente ao eixo — a projeção ortogonal de P sobre o eixo X. Isso decorre diretamente da definição de distância entre dois pontos no plano cartesiano.

A ideia por trás

No plano cartesiano, o eixo das abscissas (eixo X) é formado por todos os pontos cuja ordenada é zero, ou seja, pontos da forma (x, 0). Queremos encontrar, entre todos esses pontos, aquele que fica mais próximo de P(3,4).

A distância entre dois pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂) é dada pela fórmula:

d_{A,B} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Para um ponto genérico (x, 0) do eixo X, a distância até P(3,4) é:

d = \sqrt{(x - 3)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + 16}

Para minimizar essa distância, basta minimizar o radicando $(x - 3)^2 + 16$ . Como o termo $(x - 3)^2$ é sempre maior ou igual a zero, o menor valor ocorre quando $(x - 3)^2 = 0$ , ou seja, quando $x = 3$ . Assim, o ponto procurado é (3,0), e a distância mínima é $\sqrt{0 + 16} = 4$ .

Geometricamente, o ponto do eixo X mais próximo de P é a projeção ortogonal de P sobre esse eixo, que mantém a abscissa e zera a ordenada. É o mesmo raciocínio de "descer" verticalmente até o eixo X.

1Ponto do eixo X: (x, 0)
2Distância: √[(x−3)² + 16]
3Minimizar: (x−3)² = 0
4Ponto: (3, 0), distância 4

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Critério	(3,0) — E (gabarito)	(4,0) — D	(5,0) — C	(0,3) — B	(0,4) — A
Pertence ao eixo X (y = 0)?	✅ Sim	✅ Sim	✅ Sim	❌ Não	❌ Não
Distância até P(3,4)	4	√17 ≈ 4,12	√20 ≈ 4,47	√10 ≈ 3,16	3
É o mais próximo entre os do eixo X?	✅ Sim (mínimo)	❌ Não	❌ Não	— (fora do conjunto)	— (fora do conjunto)
Justificativa	Projeção ortogonal: mesma abscissa de P	Abscissa diferente → distância maior	Abscissa mais distante → distância maior	Ordenada ≠ 0 → não é candidato	Ordenada ≠ 0 → não é candidato

Alternativa A — ❌ Incorreta

O ponto (0,4) tem abscissa 0 e ordenada 4. Ele não está no eixo X (pois a ordenada não é zero) e sua distância até P é $\sqrt{(0-3)^2 + (4-4)^2} = 3$ , maior que 4? Não, é 3, que é menor que 4. Mas o ponto (3,0) tem distância 4? Vamos calcular: $\sqrt{(3-3)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{0+16} = 4$ . Então (0,4) está a distância 3, que é menor que 4. Mas (0,4) não pertence ao eixo X, então não é candidato. A alternativa está incorreta porque o ponto não pertence ao eixo das abscissas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O ponto (0,3) também não pertence ao eixo X (ordenada 3 ≠ 0). Além disso, sua distância até P é $\sqrt{(0-3)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \approx 3,16$ , que é maior que a distância mínima de 4? Não, é menor que 4, mas novamente não está no eixo X.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O ponto (5,0) pertence ao eixo X, mas sua distância até P é $\sqrt{(5-3)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} \approx 4,47$ , que é maior que 4. Portanto, não é o mais próximo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O ponto (4,0) também pertence ao eixo X, mas sua distância até P é $\sqrt{(4-3)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17} \approx 4,12$ , maior que 4. Não é o mais próximo.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O ponto (3,0) tem a mesma abscissa de P e ordenada zero, sendo a projeção ortogonal de P sobre o eixo X. A distância é $\sqrt{(3-3)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{0+16} = 4$ , a menor possível entre todos os pontos do eixo X.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato com pontos que têm distância menor, mas que não estão no eixo X, como (0,4) e (0,3). Lembre-se: o ponto deve pertencer ao eixo das abscissas, ou seja, ter ordenada zero. A distância mínima é sempre a perpendicular ao eixo.

PEGA ESSA DICA!

Para encontrar o ponto de um eixo mais próximo de um ponto dado, basta projetar ortogonalmente: mantenha a coordenada correspondente ao eixo e zere a outra. No caso do eixo X, o ponto é (x_P, 0).

Gabarito: letra E