Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg101927

Geometria Plana: área do triângulo isósceles no plano cartesiano

Gabarito: letra A — o terceiro vértice é (5,10). A base do triângulo mede 4 unidades (de x=3 a x=7), e a área de 20 exige altura 10, pois $A = \frac{base \times altura}{2}$ . Como o triângulo é isósceles, o vértice está na mediatriz da base, ou seja, em x=5, e a altura é a distância vertical até a base (y=0), resultando em y=10.

A questão combina dois conceitos: a fórmula da área do triângulo e a propriedade do triângulo isósceles. A base está sobre o eixo x, entre os pontos (3,0) e (7,0), então seu comprimento é a diferença das abscissas: 7 − 3 = 4. A área é dada por $A = \frac{b \cdot h}{2}$ . Substituindo A=20 e b=4, temos $20 = \frac{4 \cdot h}{2} = 2h$ , logo h=10. Como a base está sobre o eixo x (y=0), a altura é a coordenada y do terceiro vértice, que deve ser 10 (em módulo).

A propriedade do triângulo isósceles garante que o vértice oposto à base está alinhado com o ponto médio da base. O ponto médio de (3,0) e (7,0) é $\left(\frac{3+7}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (5,0)$ . Portanto, o terceiro vértice tem x=5 e y=10 (ou y=−10, mas apenas a alternativa com y=10 é oferecida).

Distribuição de respostas por alternativa — só Respostas corretas: 1; só Respostas incorretas: 4; Respostas corretas∩Respostas incorretas: 0

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O ponto (5,10) está na mediatriz da base (x=5, ponto médio) e a distância vertical até a base (y=0) é 10, exatamente a altura calculada. Confere com a área: $A = \frac{4 \times 10}{2} = 20$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O ponto (5,5) tem a abscissa correta (x=5), mas a altura seria 5, resultando em área $\frac{4 \times 5}{2} = 10$ , não 20. O candidato pode ter dividido a altura por 2 por engano.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O ponto (7,3) não está na mediatriz da base (x deveria ser 5). Além disso, a altura 3 daria área $\frac{4 \times 3}{2} = 6$ . Confunde a coordenada do vértice da base com a do topo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O ponto (3,7) também não está na mediatriz (x=3 é um extremo da base). A altura 7 daria área $\frac{4 \times 7}{2} = 14$ . Troca a abscissa do vértice pela de um dos pontos da base.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O ponto (10,5) está fora da mediatriz (x=10) e a altura 5 daria área 10. O candidato pode ter usado a distância entre (3,0) e (7,0) de forma incorreta ou confundido as coordenadas.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa: o candidato calcula a altura (10) e escolhe qualquer alternativa com y=10, esquecendo de verificar se x está na mediatriz da base. Ou calcula a área com a base errada (distância entre (3,0) e (7,0) é 4, não 7−3=4? Sim, é 4, mas alguns usam 7−3=4 e depois erram a altura). A chave é lembrar que, no triângulo isósceles, o vértice superior está sempre alinhado com o ponto médio da base — x=5.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de triângulo isósceles no plano cartesiano, siga o roteiro: 1) calcule o comprimento da base (diferença das abscissas, se estiver no eixo x); 2) use a fórmula da área para achar a altura; 3) o vértice está na mediatriz da base (x = ponto médio) e a altura é a distância vertical até a base. Esse método resolve a maioria dos casos.

Gabarito: letra A