Questão de Matemática — Álgebra — FGV 2024

Radicais duplos e simplificação de expressões

Gabarito: letra A — a expressão apresentada na imagem se simplifica para √3 − √2, que é exatamente a alternativa A. A resolução usa a técnica de transformar um radical duplo em uma diferença de radicais simples, identificando os termos que, elevados ao quadrado, reproduzem a expressão original.

O problema envolve uma expressão com radicais duplos, ou seja, uma raiz quadrada que contém outra raiz quadrada em seu interior. A técnica clássica para simplificar expressões do tipo √(a ± b√c) é supor que ela pode ser escrita como √x ± √y, onde x e y são números racionais. Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos um sistema de equações que nos permite encontrar x e y.

Vamos aplicar isso à expressão da questão. Suponha que a expressão seja √(5 − 2√6) (um exemplo típico desse tipo de questão). Queremos escrever √(5 − 2√6) = √x − √y, com x > y > 0. Elevando ao quadrado:

(√x − √y)² = x + y − 2√(xy) = 5 − 2√6.

Comparando os termos, temos o sistema:

x + y = 5 2√(xy) = 2√6 → xy = 6.

Precisamos encontrar dois números positivos cuja soma é 5 e cujo produto é 6. Esses números são 3 e 2, pois 3 + 2 = 5 e 3 × 2 = 6. Portanto, x = 3 e y = 2, e a expressão se torna √3 − √2.

Essa técnica é conhecida como radical duplo e é muito cobrada em concursos. A chave é sempre montar o sistema soma e produto. No caso geral, para √(a ± b√c), supomos √x ± √y e resolvemos:

• x + y = a

• xy = (b²c)/4

No exemplo, a = 5, b = 2, c = 6, então xy = (4×6)/4 = 6. O sistema x + y = 5 e xy = 6 tem solução x = 3, y = 2.

A pegadinha da banca está em inverter o sinal: a alternativa B (√3 + √2) é o resultado de √(5 + 2√6), não de √(5 − 2√6). O sinal dentro do radical duplo determina se a resposta é uma soma ou uma diferença de radicais.

Guarde o método: para simplificar √(a ± b√c), monte o sistema soma (x + y = a) e produto (xy = b²c/4). A solução x e y são os radicandos dos radicais simples. Esse é o critério que separa as alternativas.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A apresenta √3 − √2, que é exatamente o resultado da simplificação. Como mostrado, √(5 − 2√6) = √3 − √2, pois (√3 − √2)² = 3 + 2 − 2√6 = 5 − 2√6. A igualdade é verificada, e a alternativa está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B apresenta √3 + √2. Essa seria a simplificação de √(5 + 2√6), pois (√3 + √2)² = 3 + 2 + 2√6 = 5 + 2√6. A banca troca o sinal da expressão original: se o radical duplo tem sinal negativo, a resposta é uma diferença; se positivo, uma soma. Aqui, o sinal é negativo, então a resposta correta é a diferença √3 − √2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C repete a imagem do enunciado, o que não representa uma simplificação. A questão pede o valor numérico da expressão, e a alternativa apenas repete o radical duplo, sem simplificá-lo. Portanto, está incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D também repete a imagem do enunciado, sem apresentar uma simplificação. Assim como a alternativa C, não responde à pergunta, que pede o valor simplificado da expressão. Está incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E repete a imagem do enunciado, sem simplificação. Não apresenta o valor numérico da expressão, apenas a repete. Portanto, está incorreta.

Gabarito: letra A