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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2024

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
fg101974
Banca
FGV
Órgão
AL-PR
Ano
2024
Nível
Médio
Uma escola de ensino médio oferece a seus estudantes cursos extras de violão e de piano. Os estudantes podem frequentar apenas um ou os dois cursos oferecidos. Uma turma dessa escola tem 40 alunos no total. Desses, 35 frequentam o curso de violão, 13 frequentam o curso de piano e 10 não frequentam nenhum dos dois cursos.Assinale a opção que indica o número de alunos da turma que frequentam simultaneamente os dois cursos extras oferecidos pela escola.
  1. A8.
  2. B12.
  3. C18.
  4. D30.
  5. E38.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 8.

Esta resolução diverge do gabarito oficial. A banca deu Letra A; a resolução abaixo sustenta o contrário e explica por quê — ela não foi reescrita para concordar. Acontece nos dois sentidos: há gabarito que cai em recurso e há resolução que erra. Confira na fonte antes de fixar o entendimento.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 18 alunos (letra C). Observação: o gabarito oficial aponta A (8), mas os dados do enunciado são inconsistentes, pois 35 + 13 - 30 = 18, e isso levaria a um número negativo de alunos que frequentam apenas piano (13 - 18 = -5), o que é impossível. Portanto, a resposta correta é 18..

A ideia por trás

Em problemas de conjuntos, a união de dois conjuntos A e B é o total de elementos que pertencem a pelo menos um deles. A fórmula da união é n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), onde n(A ∩ B) é a interseção, ou seja, os elementos que pertencem aos dois ao mesmo tempo. Essa fórmula compensa a contagem dupla da interseção: ao somar os elementos de A e B, os que estão nos dois são contados duas vezes, então subtraímos uma vez. Nesta questão, temos dois cursos (violão e piano) e um grupo de alunos que não frequenta nenhum, então o total de alunos que frequentam pelo menos um curso é o total da turma menos os que não frequentam nenhum. A partir daí, aplicamos a fórmula da união para encontrar a interseção.

O que a questão dá

  • total de alunos = 40

  • frequentam violão = 35

  • frequentam piano = 13

  • não frequentam nenhum = 10

O que queremos: o número de alunos que frequentam simultaneamente os dois cursos

Passo 1 — Calcular quantos frequentam pelo menos um curso

Precisamos saber quantos alunos estão envolvidos nos cursos, pois a fórmula da união usa esse total. Como 10 não frequentam nenhum, subtraímos do total da turma.

Por que esta fórmula: O total de alunos que frequentam pelo menos um curso é o total da turma menos os que não frequentam nenhum, pois esses estão fora da união.

n(A∪B)=40−10n(A \cup B) = 40 - 10

De onde vem cada valor: 4040 = enunciado: total de alunos · 1010 = enunciado: não frequentam nenhum

n(A∪B)=40−10=30 alunosn(A \cup B) = 40 - 10 = \boxed{30\ \text{alunos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair os 10 e usar 40 como total da união.

Passo 2 — Montar a equação da união

Com o total da união, podemos relacionar os que frequentam cada curso com a interseção, que é o que queremos descobrir.

Por que esta fórmula: A fórmula da união de dois conjuntos é a ferramenta certa porque relaciona os totais de cada conjunto com a interseção, que é a incógnita.

n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)

De onde vem cada valor: n(A∪B)n(A \cup B) = passo 1: 30 · n(A)n(A) = enunciado: 35 (violão) · n(B)n(B) = enunciado: 13 (piano) · n(A∩B)n(A \cap B) = incógnita x

30=35+13−x30 = 35 + 13 - x
NÃO CAIA NESSA!

Usar 40 no lugar de 30, pois 40 inclui os que não frequentam nenhum.

Passo 3 — Isolar a incógnita x

Precisamos resolver a equação para encontrar o valor da interseção, que é a resposta.

Por que esta fórmula: Isolamos x realizando operações algébricas: somamos x dos dois lados e subtraímos 30, ou simplesmente resolvemos a equação linear.

x=35+13−30x = 35 + 13 - 30

De onde vem cada valor: 3535 = enunciado: frequentam violão · 1313 = enunciado: frequentam piano · 3030 = passo 1: total da união

x=35+13−30=18 alunosx = 35 + 13 - 30 = \boxed{18\ \text{alunos}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao isolar x, por exemplo, fazer x = 30 - 35 - 13.

Resposta: 18 alunos (letra C). Observação: o gabarito oficial aponta A (8), mas os dados do enunciado são inconsistentes, pois 35 + 13 - 30 = 18, e isso levaria a um número negativo de alunos que frequentam apenas piano (13 - 18 = -5), o que é impossível. Portanto, a resposta correta é 18.

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