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Questão de Matemática — Médias — FGV 2024

MatemáticaMédias
Código
fg101994
Banca
FGV
Órgão
AL-SC
Ano
2024
Nível
Superior
Em um depósito havia 12 caixotes. Substituiu-se um deles por um caixote de 17kg e, com isso, a média dos pesos de todos os caixotes diminuiu em 2kg.O peso do caixote retirado era de
  1. A33kg.
  2. B35kg.
  3. C37kg.
  4. D39kg.
  5. E41kg.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 41kg.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 41 kg (alternativa E).

A ideia por trás

A média aritmética é o valor que representa um conjunto de números: somamos todos os elementos e dividimos pela quantidade deles. Ela mede o 'centro' dos dados — se um elemento é trocado por outro mais leve, a soma total diminui e a média acompanha essa queda. A relação que governa é a definição de média: xˉ\bar{x} = Sn\frac{S}{n}, onde S é a soma dos pesos e n é a quantidade de caixotes. Quando um elemento é substituído, o número de elementos não muda, mas a soma varia: a nova soma é a antiga menos o que saiu, mais o que entrou. A queda na média (2 kg) multiplicada pelo número de elementos (12) dá exatamente a queda na soma total (24 kg). Nesta questão, precisamos descobrir quanto o caixote retirado pesava, sabendo que a soma caiu 24 kg e que o novo caixote pesa 17 kg.

O que a questão dá

  • número de caixotes = 12

  • peso do novo caixote = 17 kg

  • diminuição da média = 2 kg

O que queremos: o peso do caixote retirado

Passo 1 — Calcular a queda total da soma

A média é a soma dividida pelo número de elementos. Se a média caiu 2 kg e são 12 caixotes, a soma total caiu 12 vezes mais. Esse é o passo que liga a variação da média à variação da soma — sem ele não há como comparar os pesos.

Por que esta fórmula: A variação da soma é igual à variação da média multiplicada pelo número de elementos, porque a média é S/n. Se n não muda, uma queda de 2 na média significa uma queda de 2·n na soma.

ΔS=n×Δxˉ\Delta S = n \times \Delta \bar{x}

De onde vem cada valor: nn = enunciado: 12 caixotes · Δxˉ\Delta \bar{x} = enunciado: 2 kg (diminuição da média)

ΔS=12×2=24 kg\Delta S = 12 \times 2 = \boxed{24\ \text{kg}}
NÃO CAIA NESSA!

Pensar que a queda da soma é só 2 kg, esquecendo de multiplicar por 12 — isso daria resposta errada.

Passo 2 — Montar a equação da nova soma

A nova soma é a soma antiga menos o peso do caixote que saiu, mais o peso do que entrou (17 kg). Como já sabemos que a nova soma é 24 kg menor que a antiga, podemos igualar as duas expressões e descobrir o peso retirado.

Por que esta fórmula: Essa é a relação de substituição: o que sai diminui a soma, o que entra aumenta. É a forma de conectar o peso desconhecido com a variação conhecida.

Snovo=Santigo−Pretirado+17S_{novo} = S_{antigo} - P_{retirado} + 17

De onde vem cada valor: SnovoS_{novo} = passo 1: S_{antigo} - 24 · SantigoS_{antigo} = soma original (não precisa do valor) · PretiradoP_{retirado} = incógnita que queremos · 1717 = enunciado: peso do novo caixote

Santigo−24=Santigo−Pretirado+17S_{antigo} - 24 = S_{antigo} - P_{retirado} + 17
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir o +17, achando que a soma nova é só a antiga menos o retirado.

Passo 3 — Isolar o peso do caixote retirado

Com a equação montada, precisamos resolver para P_retirado. Cancelamos S_antigo dos dois lados e isolamos a incógnita — é a manipulação algébrica que revela o valor.

Por que esta fórmula: A equação tem a mesma incógnita S_antigo dos dois lados, então ela se anula. Sobra uma equação simples de primeiro grau.

Pretirado=17+24P_{retirado} = 17 + 24

De onde vem cada valor: 1717 = enunciado: peso do novo caixote · 2424 = passo 1: queda da soma

Pretirado=17+24=41 kgP_{retirado} = 17 + 24 = \boxed{41\ \text{kg}}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer 17 - 24 = -7, confundindo o sinal. Como a soma diminuiu, o retirado é mais pesado que o novo.

Resposta: 41 kg (alternativa E)

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