Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg101995

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 6 latas (alternativa D).

A ideia por trás

Este problema trata de conjuntos: temos dois grupos de latas (as que têm bolinhas pretas e as que têm bolinhas brancas) que podem se sobrepor, pois algumas latas têm as duas cores. A grandeza que queremos é o total de latas que não estão vazias, ou seja, a união dos dois conjuntos. A união de dois conjuntos é o conjunto de elementos que pertencem a pelo menos um deles. Para calcular o tamanho da união, usamos o princípio da inclusão-exclusão: somamos os tamanhos dos dois conjuntos e subtraímos o tamanho da interseção, porque os elementos da interseção foram contados duas vezes. Assim, a fórmula é n(P ∪ B) = n(P) + n(B) − n(P ∩ B). Se um dos conjuntos cresce, a união cresce; se a interseção cresce, a união diminui (pois há mais elementos contados duas vezes). Nesta questão, precisamos primeiro achar quantas latas têm pelo menos uma bolinha (a união) e depois subtrair do total para achar as vazias.

O que a questão dá

total de latas = 15
latas com bolinhas pretas = 7
latas com bolinhas brancas = 5
latas com as duas cores = 3

O que queremos: o número de latas que ficaram vazias

Passo 1 — Calcular latas com pelo menos uma bolinha

Para saber quantas latas ficaram vazias, primeiro precisamos saber quantas latas NÃO estão vazias, ou seja, quantas têm pelo menos uma bolinha (preta ou branca). Isso é a união dos dois conjuntos.

Por que esta fórmula: Usamos o princípio da inclusão-exclusão: somamos as latas com pretas e as com brancas, mas subtraímos as que têm as duas cores, porque elas foram contadas duas vezes. Essa fórmula evita contar duas vezes as latas da interseção.

n(P \cup B) = n(P) + n(B) - n(P \cap B)

De onde vem cada valor: $n(P)$ = enunciado: 7 latas com bolinhas pretas · $n(B)$ = enunciado: 5 latas com bolinhas brancas · $n(P \cap B)$ = enunciado: 3 latas com as duas cores

n(P \cup B) = 7 + 5 - 3 = \boxed{9\ \text{latas}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair a interseção e fazer 7 + 5 = 12, contando as 3 latas duas vezes.

Passo 2 — Subtrair do total para achar as vazias

Agora que sabemos quantas latas têm pelo menos uma bolinha (9), podemos descobrir quantas estão vazias: basta subtrair esse número do total de latas na prateleira.

Por que esta fórmula: As latas vazias são as que não estão na união, ou seja, o total menos as ocupadas.

vazias = total - n(P \cup B)

De onde vem cada valor: $total$ = enunciado: 15 latas · $n(P \cup B)$ = passo 1: 9 latas

vazias = 15 - 9 = \boxed{6\ \text{latas}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 12 (7+5) em vez de 9, achando 3 vazias — cai na pegadinha da alternativa A.

Resposta: 6 latas (alternativa D)