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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2024

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
fg101997
Banca
FGV
Órgão
AL-SC
Ano
2024
Nível
Superior
A diretoria de um condomínio é constituída por quatro pessoas: um presidente, um vice-presidente e dois secretários. Para ocupar esses cargos seis pessoas se candidataram.Com as pessoas que se candidataram, o número de diretorias diferentes possíveis que podem ser formadas é igual a
  1. A60.
  2. B90.
  3. C120.
  4. D180.
  5. E360.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 180.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 180 diretorias (alternativa D).

A ideia por trás

Na análise combinatória, quando os cargos são distintos, a ordem de escolha importa e usamos arranjos ou o princípio multiplicativo. Aqui, presidente e vice são cargos diferentes, mas os dois secretários são idênticos entre si, então precisamos combinar a escolha dos secretários. O princípio multiplicativo diz que, se uma escolha tem m opções e outra tem n opções, o total é m × n. Nesta questão, escolhemos presidente, vice e depois os secretários, multiplicando as possibilidades de cada etapa.

O que a questão dá

  • 6 candidatos

  • 4 cargos: presidente, vice-presidente e 2 secretários

O que queremos: o número de diretorias diferentes possíveis

Passo 1 — Escolher o presidente

O presidente é um cargo único e distinto, então qualquer um dos 6 candidatos pode ocupá-lo. Essa é a primeira decisão, e temos 6 opções.

Por que esta fórmula: Não há fórmula, apenas contagem direta: são 6 candidatos para 1 cargo.

6 possibilidades\boxed{6\ \text{possibilidades}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o presidente é um cargo específico e contar como se fosse igual aos outros.

Passo 2 — Escolher o vice-presidente

Depois de escolher o presidente, restam 5 candidatos. O vice-presidente também é um cargo distinto, então temos 5 opções.

Por que esta fórmula: Novamente contagem direta: 5 candidatos restantes para 1 cargo.

5 possibilidades\boxed{5\ \text{possibilidades}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 6 em vez de 5, esquecendo que o presidente já foi escolhido.

Passo 3 — Escolher os dois secretários

Agora restam 4 candidatos. Precisamos escolher 2 para serem secretários, mas como os dois cargos são idênticos, a ordem não importa. Por isso usamos combinação.

Por que esta fórmula: Combinação de 4 tomados 2 a 2: C(4,2) = 4! / (2! · 2!) = 6. Isso conta quantos grupos de 2 podemos formar sem considerar a ordem.

C(4,2)=4!2!⋅2!C(4{,}2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!}

De onde vem cada valor: 44 = passo 2: restaram 4 candidatos · 22 = número de secretários a escolher

C(4,2)=4⋅32⋅1=6=6 possibilidadesC(4{,}2) = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 = \boxed{6\ \text{possibilidades}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (4 × 3 = 12) em vez de combinação, contando os secretários como se fossem distintos.

Passo 4 — Multiplicar as possibilidades

Cada escolha é independente, então o total de diretorias é o produto das possibilidades de cada etapa, pelo princípio multiplicativo.

Por que esta fórmula: O princípio multiplicativo: se uma escolha tem a opções, outra tem b, e outra tem c, o total é a × b × c.

Total=6×5×C(4,2)Total = 6 \times 5 \times C(4{,}2)

De onde vem cada valor: 66 = passo 1 · 55 = passo 2 · C(4,2)C(4{,}2) = passo 3

Total=6×5×6=180 diretoriasTotal = 6 \times 5 \times 6 = \boxed{180\ \text{diretorias}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pela combinação, ou usar arranjo simples (6 × 5 × 4 × 3 = 360).

Resposta: 180 diretorias (alternativa D)

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