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Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2024

MatemáticaGeometria Plana
Código
fg101998
Banca
FGV
Órgão
AL-SC
Ano
2024
Nível
Superior
Um terreno de 1400m² foi dividido em três partes e suas áreas são representadas por A. B e C. Sabe-se que B é igual a dois terços de A e que C é igual a cinco sextos de B.A área do menor terreno é igual a
  1. A280m² .
  2. B320m² .
  3. C350m2 .
  4. D420m² .
  5. E630m² .
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 350m2 .

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 350 m² (alternativa C).

A ideia por trás

Quando um todo é dividido em partes proporcionais, cada parte pode ser escrita como uma fração de uma delas. Aqui, B e C são dados em função de A, então conseguimos expressar tudo com uma única incógnita. A soma das partes é o total, o que permite achar A e depois as demais. A fração que representa C em relação a A é o produto das frações dadas, pois C depende de B que depende de A. Comparando os valores, o menor é C.

O que a questão dá

  • área total = 1400 m²

  • B = (2/3) · A

  • C = (5/6) · B

O que queremos: a área do menor terreno

Passo 1 — Expressar C em função de A

Precisamos de todas as áreas na mesma unidade de comparação. Como B já está em função de A, substituímos B na expressão de C para obter C diretamente em função de A.

Por que esta fórmula: C = (5/6) · B e B = (2/3) · A, então substituímos B: C = (5/6) · (2/3) · A.

C=56⋅23⋅AC = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{3} \cdot A

De onde vem cada valor: 56\frac{5}{6} = enunciado: C = (5/6) · B · 23\frac{2}{3} = enunciado: B = (2/3) · A · AA = enunciado: área A

C=56⋅23⋅A=1018⋅A=59⋅AC = \frac{5}{6} \cdot \frac{2}{3} \cdot A = \frac{10}{18} \cdot A = \frac{5}{9} \cdot A
C=(5/9)⋅AC = \boxed{(5/9) \cdot \text{A}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar as frações e usar C = (5/6) · A diretamente.

Passo 2 — Montar a equação da soma

A soma das três áreas é o total de 1400 m². Com B e C em função de A, podemos montar uma equação só com A.

Por que esta fórmula: A soma das partes é o todo: A + B + C = 1400. Substituímos B e C pelas expressões em função de A.

A+23A+59A=1400A + \frac{2}{3}A + \frac{5}{9}A = 1400

De onde vem cada valor: AA = enunciado: área A · 23A\frac{2}{3}A = passo 1: B = (2/3) · A · 59A\frac{5}{9}A = passo 1: C = (5/9) · A · 14001400 = enunciado: área total

A+23A+59A=1400A + \frac{2}{3}A + \frac{5}{9}A = 1400
NÃO CAIA NESSA!

Não colocar as frações com o mesmo denominador antes de somar.

Passo 3 — Somar as frações de A

Para resolver a equação, precisamos somar os coeficientes de A. Isso exige um denominador comum.

Por que esta fórmula: O mínimo múltiplo comum de 1, 3 e 9 é 9. Escrevemos cada termo com denominador 9 e somamos os numeradores.

99A+69A+59A=209A\frac{9}{9}A + \frac{6}{9}A + \frac{5}{9}A = \frac{20}{9}A

De onde vem cada valor: 99A\frac{9}{9}A = passo 2: A = (9/9)A · 69A\frac{6}{9}A = passo 2: (2/3)A = (6/9)A · 59A\frac{5}{9}A = passo 2: (5/9)A

99A+69A+59A=209A=209A\frac{9}{9}A + \frac{6}{9}A + \frac{5}{9}A = \frac{20}{9}A = \boxed{\frac{20}{9}A}
NÃO CAIA NESSA!

Usar denominador 3 em vez de 9, somando errado.

Passo 4 — Isolar A na equação

Com a soma simplificada, a equação fica (20/9)A = 1400. Para achar A, multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 20/9.

Por que esta fórmula: Para isolar A, dividimos por 20/9, o que equivale a multiplicar por 9/20.

A=1400⋅920A = 1400 \cdot \frac{9}{20}

De onde vem cada valor: 14001400 = enunciado: área total · 920\frac{9}{20} = passo 3: inverso de 20/9

A=1400⋅920=1400⋅920=1260020=630A = 1400 \cdot \frac{9}{20} = \frac{1400 \cdot 9}{20} = \frac{12600}{20} = 630
A=630 m2A = \boxed{630\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração errado, multiplicando por 20/9 em vez de 9/20.

Passo 5 — Calcular B

Com A conhecido, usamos a relação B = (2/3)·A para achar a área de B.

Por que esta fórmula: B é dado como dois terços de A, então multiplicamos A por 2/3.

B=23⋅AB = \frac{2}{3} \cdot A

De onde vem cada valor: 23\frac{2}{3} = enunciado: B = (2/3) · A · AA = passo 4: A = 630 m²

B=23⋅630=12603=420B = \frac{2}{3} \cdot 630 = \frac{1260}{3} = 420
B=420 m2B = \boxed{420\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular B como 2/3 de 1400, esquecendo que é de A.

Passo 6 — Calcular C

Com B conhecido, usamos a relação C = (5/6)·B para achar a área de C.

Por que esta fórmula: C é dado como cinco sextos de B, então multiplicamos B por 5/6.

C=56⋅BC = \frac{5}{6} \cdot B

De onde vem cada valor: 56\frac{5}{6} = enunciado: C = (5/6) · B · BB = passo 5: B = 420 m²

C=56⋅420=21006=350C = \frac{5}{6} \cdot 420 = \frac{2100}{6} = 350
C=350 m2C = \boxed{350\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular C como 5/6 de A, ignorando que é de B.

Passo 7 — Comparar as áreas e escolher a menor

A pergunta pede o menor terreno. Com as três áreas calculadas, comparamos os valores.

C=350 m2eˊamenorC = \boxed{350\ \text{m}^{2} é \text{a} \text{menor}}
NÃO CAIA NESSA!

Marcar B (420 m²) ou A (630 m²) sem comparar todas.

Resposta: 350 m² (alternativa C)

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