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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg102031
Banca
FGV
Órgão
AL-TO
Ano
2024
Nível
Superior
Marcelo está parado de frente para uma das paredes de uma sala quadrada. Nesta posição, ele está a 1m e 20cm da parede que se encontra à sua direita e a 1m e 70cm da parede que está às suas costas.Ele, então, se desloca paralelamente às paredes da sala sendo 40cm para a frente e 80cm para a direita. Nessa nova posição, ele passou a distar 1m e 90cm da parede que antes estava à sua esquerda.Desprezando-se as dimensões de Marcelo, a sua atual distância à parede que, antes dos movimentos, estava à sua frente, é
  1. A20cm.
  2. B30cm.
  3. C40cm.
  4. D50cm.
  5. E60cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 20cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 20 cm (alternativa A).

A ideia por trás

Numa sala quadrada, a distância de um ponto a uma parede somada à distância à parede oposta é sempre igual ao lado do quadrado. Isso porque as paredes opostas são paralelas e a distância entre elas é constante. Assim, conhecendo a distância a uma parede e a distância à oposta, podemos determinar o lado da sala. Nesta questão, usamos essa propriedade para encontrar o lado da sala a partir das distâncias às paredes laterais, e depois aplicamos novamente para achar a distância à parede da frente.

O que a questão dá

  • distância à parede da direita (inicial) = 1 m 20 cm = 120 cm

  • distância à parede das costas (inicial) = 1 m 70 cm = 170 cm

  • deslocamento para a frente = 40 cm

  • deslocamento para a direita = 80 cm

  • distância à parede que antes estava à esquerda (nova posição) = 1 m 90 cm = 190 cm

O que queremos: a distância atual de Marcelo à parede que, antes dos movimentos, estava à sua frente

Passo 1 — Converter as medidas para centímetros

As distâncias estão em metros e centímetros, mas para facilitar os cálculos e evitar erros, vamos trabalhar tudo em centímetros. Como 1 m = 100 cm, basta multiplicar os metros por 100 e somar os centímetros.

Por que esta fórmula: A conversão é direta: 1 m = 100 cm, então 1 m 20 cm = 100 + 20 = 120 cm.

dcm=dm×100+dcmd_{cm} = d_{m} \times 100 + d_{cm}

De onde vem cada valor: dmd_{m} = enunciado: 1 m (para cada medida) · dcmd_{cm} = enunciado: 20 cm, 70 cm, 90 cm

120=1×100+20120 = 1 \times 100 + 20

120120 = 120 cm, 170 cm, 190 cm

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar 1,20 em vez de 120, o que leva a erros de fator 100.

Passo 2 — Calcular a distância à parede das costas após andar para a frente

Marcelo andou 40 cm para a frente, o que o afasta da parede das costas. Como a distância inicial era 170 cm, a nova distância é a soma.

Por que esta fórmula: Andar para a frente aumenta a distância à parede das costas, então somamos o deslocamento.

dcostas,nova=dcostas,inicial+Δfrented_{costas, nova} = d_{costas, inicial} + \Delta_{frente}

De onde vem cada valor: dcostas,iniciald_{costas, inicial} = passo 1: 170 cm · Δfrente\Delta_{frente} = enunciado: 40 cm

dcostas,nova=170+40=210 cmd_{costas, nova} = 170 + 40 = \boxed{210\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair em vez de somar, pensando que andar para a frente aproxima da parede das costas.

Passo 3 — Calcular a distância à parede da direita após andar para a direita

Marcelo andou 80 cm para a direita, o que o aproxima da parede da direita. A distância inicial era 120 cm, então subtraímos o deslocamento.

Por que esta fórmula: Andar para a direita diminui a distância à parede da direita, então subtraímos.

ddireita,nova=ddireita,inicial−Δdireitad_{direita, nova} = d_{direita, inicial} - \Delta_{direita}

De onde vem cada valor: ddireita,iniciald_{direita, inicial} = passo 1: 120 cm · Δdireita\Delta_{direita} = enunciado: 80 cm

ddireita,nova=120−80=40 cmd_{direita, nova} = 120 - 80 = \boxed{40\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de subtrair, esquecendo que andar para a direita aproxima da parede direita.

Passo 4 — Determinar o lado da sala usando as distâncias às paredes laterais

Na nova posição, Marcelo está a 40 cm da parede que antes era a direita e a 190 cm da parede que antes era a esquerda. Como essas paredes são opostas, a soma dessas distâncias é exatamente o lado do quadrado.

Por que esta fórmula: Num quadrado, a distância entre duas paredes opostas é constante e igual ao lado. Assim, a soma das distâncias de um ponto a cada uma delas é o lado.

L=desquerda,nova+ddireita,novaL = d_{esquerda, nova} + d_{direita, nova}

De onde vem cada valor: desquerda,novad_{esquerda, nova} = enunciado: 190 cm (distância à parede que antes estava à esquerda) · ddireita,novad_{direita, nova} = passo 3: 40 cm

L=190+40=230 cmL = 190 + 40 = \boxed{230\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a distância inicial à esquerda (que não foi dada) ou confundir as paredes.

Passo 5 — Calcular a distância à parede da frente

Agora que sabemos o lado da sala (230 cm) e a distância à parede das costas na nova posição (210 cm), podemos achar a distância à parede da frente, pois a soma dessas duas distâncias também é o lado.

Por que esta fórmula: As paredes da frente e das costas são opostas, então a soma das distâncias a elas é o lado do quadrado.

dfrente=L−dcostas,novad_{frente} = L - d_{costas, nova}

De onde vem cada valor: LL = passo 4: 230 cm · dcostas,novad_{costas, nova} = passo 2: 210 cm

dfrente=230−210=20 cmd_{frente} = 230 - 210 = \boxed{20\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a distância inicial às costas (170 cm) em vez da nova (210 cm), o que daria 60 cm.

Resposta: 20 cm (alternativa A)

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