Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a O menor lado do retângulo mede 7 dm — alternativa E.

A ideia por trás

Área é a medida da superfície de uma figura, em unidades quadradas como dm². Perímetro é a soma dos comprimentos dos lados. Quando uma figura é recortada de outra, a área total se conserva: a área da peça original é a soma das áreas das peças resultantes. Além disso, figuras semelhantes têm lados proporcionais, o que permite descobrir medidas desconhecidas.

A área de um quadrado é lado ao quadrado (A = l²), e a de um retângulo é base vezes altura (A = b·h). Se duas figuras são semelhantes, a razão entre lados correspondentes é constante. Aqui, a peça restante pode ser decomposta em triângulos semelhantes, e a proporção entre seus lados fornece a medida procurada.

Esta questão exige perceber que a placa original é um quadrado e que, após os recortes, a figura restante contém triângulos semelhantes. A chave é montar a proporção correta entre os lados desses triângulos para achar o lado desconhecido do retângulo.

O que a questão dá

• placa original é um quadrado

• quadrado recortado tem lado 12 dm

• retângulo recortado tem comprimento 27 dm

• figura restante mostra medidas de segmentos

O que queremos: o menor lado do retângulo recortado

Passo 1 — Descobrir o lado do quadrado original

A placa original é um quadrado, então todos os lados têm a mesma medida. O quadrado recortado tem lado 12 dm e o retângulo tem comprimento 27 dm. Na direção em que eles estão alinhados, a soma dessas medidas deve ser igual ao lado do quadrado original.

Por que esta fórmula: Como o quadrado original é formado pela junção do quadrado recortado e do retângulo ao longo de uma linha, o lado do quadrado original é a soma do lado do quadrado recortado com o comprimento do retângulo.

De onde vem cada valor: $12$ = enunciado: lado do quadrado recortado · $27$ = enunciado: comprimento do retângulo

Passo 2 — Montar a proporção dos triângulos semelhantes

A figura restante, após os recortes, tem um formato que pode ser decomposto em triângulos. Esses triângulos são semelhantes porque compartilham ângulos (um é reto e os outros são correspondentes). Em triângulos semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais, o que permite achar a medida desconhecida.

Por que esta fórmula: A semelhança de triângulos estabelece que a razão entre lados correspondentes é constante. Aqui, um triângulo tem catetos 12 e x (o lado procurado), e o outro tem catetos 27 e (39 - x) ou algo similar, dependendo da figura. A proporção correta é montada a partir da figura.

De onde vem cada valor: $12$ = passo 1: lado do quadrado recortado · $x$ = definição: menor lado do retângulo · $27$ = enunciado: comprimento do retângulo · $39 - x$ = passo 1: lado do quadrado original menos x

Passo 3 — Resolver a equação para achar x

Com a proporção montada, precisamos isolar x para descobrir o valor do menor lado do retângulo. Isso é feito multiplicando cruzado e resolvendo a equação linear resultante.

Por que esta fórmula: Multiplicar cruzado elimina as frações e transforma a proporção em uma equação algébrica simples.

De onde vem cada valor: $12$ = passo 2: numerador da primeira fração · $39 - x$ = passo 2: denominador da primeira fração · $27$ = passo 2: numerador da segunda fração · $x$ = passo 2: denominador da segunda fração

Passo 4 — Isolar x na equação

Agora temos uma equação linear. Precisamos juntar os termos com x de um lado e os números do outro para encontrar o valor de x.

Por que esta fórmula: Isolar a incógnita é o método padrão para resolver equações do primeiro grau.

De onde vem cada valor: $468$ = constante: 12·39 · $-12x$ = passo 3: -12·x · $27x$ = passo 3: 27·x

Passo 5 — Calcular o valor de x

Com a equação simplificada, basta dividir para obter o valor numérico de x.

Por que esta fórmula: Somando 12x nos dois lados e depois dividindo por 39, isolamos x.

De onde vem cada valor: $468$ = passo 4: termo constante · $39$ = passo 4: 27 + 12

Resposta: O menor lado do retângulo mede 7 dm — alternativa E