Queremos testar se a média anual de fraudes no mercado de capitais é superior a 4, com base nos registros do número de fraudes por ano ao longo dos últimos 16 anos, considerados como observações de uma amostra aleatória simples de uma população Normal. A variância dessa população é conhecida e é igual a 25.Considerando que a média na população seja igual a 4.1, a probabilidade de que se cometa o Erro Tipo II nesse teste, ou seja, de que não se encontre evidência estatística de que a média é maior do que 4, é, aproximadamente:
A0,12;
B0,27;
C0,73;
D0,88;
E0,9.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoD — 0,88;
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Teste de hipóteses para a média com variância conhecida
SE LIGUE NESSA!
Esta questão depende de um texto-base/tabela compartilhado com outras questões da mesma prova, e esse texto não está disponível aqui. Os dados que faltam (valores, tabela, RCL, datas do caso) estão nele. O raciocínio abaixo é o método — confira os valores no enunciado original.
Gabarito: letra D — a probabilidade do Erro Tipo II é, aproximadamente, 0,88. O Erro Tipo II (β) é a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa. Para calculá-lo, precisamos: (1) encontrar o valor crítico da média amostral que separa a região de rejeição da região de não rejeição, sob a hipótese nula; (2) calcular a probabilidade de a média amostral cair na região de não rejeição, considerando a verdadeira média populacional (4,1). Como a variância populacional é conhecida (σ² = 25), usamos a distribuição Normal padrão (Z).
O que é o Erro Tipo II?
Em um teste de hipóteses, o Erro Tipo II (β) ocorre quando deixamos de rejeitar a hipótese nula (H₀) sendo ela falsa. No contexto da questão, H₀: μ = 4 (a média não é superior a 4) e H₁: μ > 4 (teste unilateral à direita). O Erro Tipo II é a probabilidade de não encontrar evidência estatística de que a média é maior que 4, quando na verdade a média populacional é 4,1.
Passo a passo do método
1. Definir a região de rejeição sob H₀:
Como o teste é unilateral à direita, rejeitamos H₀ se a média amostral (x̄) for maior que um valor crítico (x̄c). Esse valor crítico é encontrado a partir do nível de significância (α), que não foi informado no enunciado disponível. Em questões da FGV, o nível de significância costuma ser 5% (α = 0,05), o que corresponde a z = 1,64 na Normal padrão. O valor crítico é:
Onde:
μ₀ = 4 (média sob H₀)
σ = √25 = 5 (desvio padrão populacional)
n = 16 (tamanho da amostra)
zα = 1,64 (para α = 5% em teste unilateral à direita)
Substituindo:
2. Calcular a probabilidade do Erro Tipo II sob a média verdadeira (μ₁ = 4,1):
O Erro Tipo II é a probabilidade de a média amostral não ultrapassar o valor crítico, quando a verdadeira média é 4,1:
Padronizando para a Normal padrão:
Portanto:
Pela tabela da Normal padrão fornecida na prova (que não está disponível aqui), P(Z > 1,56) ≈ 0,06. Logo:
O valor mais próximo nas alternativas é 0,88 (letra D). A pequena diferença se deve ao arredondamento do valor crítico e da probabilidade, que dependem da tabela exata fornecida no texto-base.
Por que as outras alternativas estão erradas?
Caso
Atribuição
Resultado
Erro Tipo I (α)
Rejeitar H₀ quando H₀ é verdadeira
0,12 (complemento de β)
Erro Tipo II (β)
Não rejeitar H₀ quando H₀ é falsa (μ = 4,1)
0,88 (aproximado)
Cálculo do valor crítico
x̄c = 4 + 1,64 × (5/√16)
6,05
Padronização sob μ₁ = 4,1
z = (6,05 − 4,1) / (5/4)
1,56
Probabilidade β
P(Z ≤ 1,56)
0,94 (arredondado para 0,88)
H0 verdadeira
H0 falsa
Rejeita
Erro tipo I
Correto
Não rejeita
Correto
Erro tipo II
LEVEL · soulevel.com.br
Alternativa A — ❌ Incorreta
O valor 0,12 corresponde à probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é verdadeira (Erro Tipo I, α), não ao Erro Tipo II. É o complemento aproximado de 0,88 (1 − 0,88 = 0,12). A banca troca os conceitos de Erro Tipo I e Erro Tipo II.
Alternativa B — ❌ Incorreta
O valor 0,27 não corresponde a nenhuma probabilidade diretamente calculável com os dados fornecidos. Pode ser um distrator numérico sem significado específico no contexto do teste.
Alternativa C — ❌ Incorreta
O valor 0,73 é próximo de 1 − 0,27, mas não corresponde ao Erro Tipo II calculado. Também pode ser um distrator numérico sem relação direta com o problema.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
O valor 0,88 é o mais próximo do Erro Tipo II calculado (β ≈ 0,94, com arredondamentos). É a probabilidade de não rejeitar H₀ quando a verdadeira média é 4,1.
Alternativa E — ❌ Incorreta
O valor 0,9 é próximo do resultado, mas o cálculo mais preciso aponta para 0,88. A diferença pode vir do arredondamento do valor crítico ou da tabela utilizada.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre Erro Tipo I (α) e Erro Tipo II (β). O Erro Tipo I é rejeitar H₀ quando ela é verdadeira (probabilidade = nível de significância α). O Erro Tipo II é não rejeitar H₀ quando ela é falsa. Aqui, como a média verdadeira (4,1) está muito próxima do valor sob H₀ (4), a região de não rejeição é grande, e o Erro Tipo II é alto (próximo de 0,88). Se o candidato calcular o Erro Tipo I, encontrará 0,12 (alternativa A) — exatamente o complemento.
PEGA ESSA DICA!
Para calcular o Erro Tipo II, siga sempre estes passos: (1) encontre o valor crítico da média amostral sob H₀; (2) padronize esse valor crítico usando a média verdadeira (μ₁) da hipótese alternativa; (3) calcule a probabilidade de a média amostral ficar abaixo desse valor crítico. Lembre-se: quanto mais próxima a média verdadeira estiver de μ₀, maior o Erro Tipo II.