Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg102184

MatemáticaEstatística

Código: fg102184
Banca: FGV
Órgão: CVM
Ano: 2024
Nível: Superior

Para a resolução da questão, pode ser necessário utilizar alguns dos resultados a seguir.

• Probabilidades aproximadas da Normal padrão (Z ~ N(0,1):

• Valores aproximados da função exponencial:

• Valores aproximados da função logaritmo natural:

Também podem ser úteis os trechos de tabelas das distribuições a seguir.

• Distribuição t de Student:

• Distribuição qui-quadrado:

Um investidor quer construir um intervalo de confiança para a variância dos retornos de um ativo, com base em uma amostra aleatória de 11 dias. A variância amostral dos retornos no período foi 19,7.Supondo que os retornos sigam distribuição normal, o limite superior do intervalo de 90% para a variância (considerando probabilidades iguais em cada cauda) é:

A35;
B40;
C45;
D50;
E55.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 50;

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Intervalo de Confiança para a Variância

Gabarito: letra D (50). O limite superior do intervalo de 90% para a variância populacional é obtido dividindo $(n-1)s^2$ pelo quantil inferior da distribuição qui-quadrado com 10 graus de liberdade correspondente a 5% de área na cauda esquerda. Esse quantil é aproximadamente 3,94, resultando em $197 / 3,94 \approx 50$ .

A banca testa a construção de intervalo de confiança para a variância de uma população normal. O intervalo com 90% de confiança e probabilidades iguais nas caudas é dado por:

\left( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}} \right)

Onde $\alpha = 0,10$ , $\alpha/2 = 0,05$ , e $n-1 = 10$ graus de liberdade. O limite superior utiliza o quantil inferior $\chi^2_{0,05;10}$ (5% inferior), que vale aproximadamente 3,94.

Cálculo:

\text{Limite superior} = \frac{10 \times 19,7}{3,94} = \frac{197}{3,94} = 50

Portanto, a alternativa correta é a letra D.

1Identificar n=11, s²=19,7, α=0,10
2GL = n-1 = 10
3Quantil inferior: χ²(0,05;10) ≈ 3,94
4Limite superior = (n-1)s² / χ²
5197 / 3,94 = 50

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Alternativa A — ❌ Incorreta (35)

Corresponderia a um valor diferente do quantil, provavelmente confundindo os graus de liberdade ou o nível de confiança.

Alternativa B — ❌ Incorreta (40)

Também não corresponde ao cálculo correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta (45)

Idem.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado.

Alternativa E — ❌ Incorreta (55)

Resultaria de utilizar um quantil diferente, como o da cauda superior (18,31) no lugar do inferior.

Resumo: O limite superior do intervalo de 90% para a variância é $\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0,05;\,10}} = \frac{197}{3,94} = 50$ .

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