Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg102185

Estimativa de Máxima Verossimilhança na Distribuição de Poisson

SE LIGUE NESSA!

Esta questão depende de um texto-base/tabela que não está disponível. O raciocínio abaixo apresenta o método completo de resolução; confira os valores e a tabela no enunciado original para aplicar os cálculos.

Gabarito: letra D (0,91). A estimativa de máxima verossimilhança (EMV) para o parâmetro λ da distribuição de Poisson é a média amostral. Com os dados fornecidos (3, 2, 1, 1, 3), a média é 2 denúncias por hora. Para um período de 2 horas, o parâmetro λ é 4. A probabilidade de chegar pelo menos 2 denúncias é o complemento da probabilidade de chegar 0 ou 1 denúncia, resultando em aproximadamente 0,91.

A distribuição de Poisson modela a ocorrência de eventos em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando os eventos ocorrem de forma independente e a uma taxa média constante. O parâmetro λ representa tanto a média quanto a variância da distribuição. A função de probabilidade é dada por:

P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}

O estimador de máxima verossimilhança para λ é a média amostral, pois a função de verossimilhança é maximizada quando λ é igual à média dos dados observados. Essa é uma propriedade fundamental da distribuição de Poisson: o EMV de λ é simplesmente a média aritmética da amostra.

A questão pede a probabilidade de que, nas próximas 2 horas, cheguem ao menos 2 denúncias. Como o parâmetro λ é proporcional ao tempo, para 2 horas temos λ = 2 × 2 = 4. A probabilidade de chegar pelo menos 2 é o complemento de chegar 0 ou 1:

P(X \geq 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

Calculando:

P(X = 0) = \frac{e^{-4} \cdot 4^0}{0!} = e^{-4} \approx 0,0183

P(X = 1) = \frac{e^{-4} \cdot 4^1}{1!} = 4e^{-4} \approx 0,0733

Somando: $P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0,0183 + 0,0733 = 0,0916$

Portanto:

P(X \geq 2) = 1 - 0,0916 \approx 0,9084 \approx 0,91

Distribuição de Poisson — só Eventos: 0,0183; só Eventos: 0,0733; Eventos∩Eventos: 0,9084

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,10 é muito baixo. Esse número não corresponde a nenhuma probabilidade relevante do problema. Provavelmente, o candidato calculou apenas $P(X = 0) = e^{-4} \approx 0,018$ ou confundiu o complemento, esquecendo de subtrair de 1. O valor 0,10 não tem relação direta com os cálculos corretos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,14 também é baixo. Esse número poderia ser uma aproximação de $P(X = 1) = 4e^{-4} \approx 0,073$ , mas não corresponde à probabilidade pedida. O candidato pode ter calculado apenas a probabilidade de exatamente 1 denúncia, sem considerar o complemento para "pelo menos 2".

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 0,59 é um distrator interessante. Esse número é próximo de $e^{-0,5} \approx 0,606$ , mas não tem relação com o problema. O candidato pode ter usado λ = 0,5 (média de 1 denúncia a cada 2 horas, se considerasse apenas 1 hora) ou confundido com outro cálculo. Na verdade, 0,59 é o valor de $e^{-0,53}$ , que não aparece em nenhuma etapa correta.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor 0,91 é exatamente o resultado do cálculo correto: $P(X \geq 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 - 0,0916 \approx 0,91$ . Este é o complemento da probabilidade de chegar 0 ou 1 denúncia em 2 horas, com λ = 4.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,95 é próximo do correto, mas ligeiramente maior. Esse número poderia ser obtido se o candidato usasse λ = 3 (média de 1,5 denúncias por hora, arredondando) ou se cometesse um erro de arredondamento. Com λ = 4, o resultado é 0,91, não 0,95.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o parâmetro λ por hora e o λ para o período de 2 horas. Muitos candidatos usam λ = 2 diretamente, sem multiplicar por 2, obtendo $P(X \geq 2) = 1 - [e^{-2} + 2e^{-2}] = 1 - 3e^{-2} \approx 0,59$ (alternativa C). Lembre-se: o parâmetro é proporcional ao tempo! Para 2 horas, λ = 4.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de Poisson, sempre verifique se o parâmetro λ está na mesma unidade de tempo do período pedido. Se a média é por hora e o período é de 2 horas, multiplique λ por 2. Depois, para "pelo menos k", use o complemento: $P(X \geq k) = 1 - P(X < k)$ .

Gabarito: letra D