Questão de Matemática — Estatística — FGV 2024

Estimador consistente para μ na distribuição lognormal

Gabarito: letra D. Se $X$ segue distribuição lognormal com parâmetros $\mu$ e $\sigma^2$, então $\ln(X)$ segue distribuição normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2$. Pela Lei dos Grandes Números, a média amostral de $\ln(X_i)$ converge em probabilidade para $E[\ln(X)] = \mu$, de modo que o estimador consistente para $\mu$ é $\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)$.

A distribuição lognormal é um modelo clássico para variáveis que só assumem valores positivos e que apresentam assimetria à direita, como é o caso dos tempos de solicitação de resgate de um fundo de investimento. A definição formal é: se $Y = \ln(X)$ tem distribuição normal com média $\mu$ e variância $\sigma^2$, então $X = e^Y$ tem distribuição lognormal com parâmetros $\mu$ e $\sigma^2$. O parâmetro $\mu$ não é a média de $X$ — ele é a média do logaritmo de $X$. Essa distinção é crucial e é exatamente onde a banca arma a pegadinha.

A Lei dos Grandes Números (LGN) é o teorema que garante que a média aritmética de uma amostra aleatória simples converge, em probabilidade, para a esperança matemática da população, à medida que o tamanho da amostra cresce. Formalmente, se $X_1, X_2, \ldots, X_n$ são independentes e identicamente distribuídos com $E[X_i] = \mu$, então $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i \xrightarrow{p} \mu$. A LGN é a justificativa teórica para usar a média amostral como estimador consistente da média populacional.

Aplicando a LGN ao caso da lognormal: como $\ln(X_i)$ são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média $E[\ln(X_i)] = \mu$, a média amostral dos logaritmos converge para $\mu$. Portanto, o estimador consistente para $\mu$ é a média aritmética dos logaritmos naturais das observações: $\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)$.

A pegadinha clássica desta questão é confundir o parâmetro $\mu$ da lognormal com a média da própria variável $X$. A média de uma variável lognormal é $E[X] = e^{\mu + \sigma^2/2}$, que não é igual a $\mu$. Se o candidato não lembrar dessa relação, pode ser tentado a usar a média aritmética simples de $X_i$ como estimador de $\mu$, o que estaria errado. A banca explora exatamente essa confusão entre a média da variável original e a média do logaritmo.

Outra armadilha comum é usar o logaritmo da média amostral, $\ln(\bar{X})$, em vez da média dos logaritmos. Embora $\ln(\bar{X})$ seja um estimador consistente para $\ln(E[X]) = \mu + \sigma^2/2$ (pela continuidade da função logaritmo e pela LGN), ele não é consistente para $\mu$ — ele converge para um valor que inclui $\sigma^2/2$. A ordem das operações importa: primeiro aplica-se o logaritmo em cada observação e depois calcula-se a média, não o contrário.

Guarde a distinção central: na lognormal, o parâmetro $\mu$ é a média de $\ln(X)$, não de $X$. O estimador consistente sugerido pela LGN é a média amostral dos logaritmos. É exatamente esse critério que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa provavelmente apresenta a média aritmética simples $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ como estimador de $\mu$. Isso está errado porque $\bar{X}$ é um estimador consistente para $E[X] = e^{\mu + \sigma^2/2}$, não para $\mu$. A LGN aplicada diretamente a $X_i$ converge para a média de $X$, que não é o parâmetro $\mu$ da lognormal.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa provavelmente apresenta $\ln(\bar{X})$, o logaritmo da média amostral. Pela continuidade da função logaritmo e pela LGN, $\ln(\bar{X}) \xrightarrow{p} \ln(E[X]) = \mu + \sigma^2/2$. Portanto, esse estimador é consistente para $\mu + \sigma^2/2$, não para $\mu$. A ordem das operações está invertida: deve-se calcular a média dos logaritmos, não o logaritmo da média.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa provavelmente apresenta uma expressão envolvendo a soma dos quadrados dos logaritmos, como $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [\ln(X_i)]^2$. Esse estimador converge para $E[\ln(X)^2] = \mu^2 + \sigma^2$, que não é igual a $\mu$. A LGN aplicada a $[\ln(X_i)]^2$ estima o segundo momento de $\ln(X)$, não a média.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta corretamente $\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)$, a média aritmética dos logaritmos naturais das observações. Como $\ln(X_i)$ são i.i.d. com média $\mu$, a LGN garante que essa média amostral converge em probabilidade para $\mu$. Este é o estimador consistente sugerido pela LGN.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa provavelmente apresenta uma expressão envolvendo a soma dos logaritmos sem dividir por $n$, como $\sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)$. Embora $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(X_i)$ seja o estimador correto, a soma sem a divisão por $n$ não converge para $\mu$ — ela diverge para $\pm\infty$ (ou, se normalizada por $n$, converge para $n\mu$, que não é um parâmetro fixo). A LGN exige a média, não a soma.

A regra de ouro para questões de estimação com distribuição lognormal: identifique primeiro qual parâmetro está sendo estimado. Se for $\mu$, aplique a LGN aos logaritmos das observações. Se for a média de $X$, use a média amostral de $X_i$. A confusão entre esses dois alvos é a fonte mais comum de erro.

Gabarito: letra D