Suponha que sejam usados indicadores para avaliar a possibilidade de inadimplência de títulos emitidos no mercado, e seja X um desses indicadores. Se X assume um valor inferior a 4, a probabilidade de que o emissor do título venha a se tornar inadimplente é 0,6. Por outro lado, se X estiver acima de 7, a probabilidade de inadimplência é de apenas 0,2. Finalmente, se o indicador estiver situado entre 4 e 7 (incluindo os extremos), o título emitido possui probabilidade de inadimplência de 0,4. Sabe-se ainda que, quando se considera o universo de todos os títulos emitidos no mercado, os valores de X seguem distribuição Normal com média 6 e variância 4.Um título emitido nesse mercado é selecionado ao acaso. A probabilidade de que seu emissor venha a se tornar inadimplente é:
A0,35;
B0,37;
C0,39;
D0,41;
E0,43.
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GabaritoB — 0,37;
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Probabilidade Total com Distribuição Normal
SE LIGUE NESSA!
Esta questão depende de um texto-base/tabela compartilhado com outras questões da mesma prova, e esse texto não está disponível. Os dados que faltam (valores, tabela, RCL, datas do caso) estão nele. O raciocínio abaixo é o método — confira os valores no enunciado original.
Gabarito: letra B (0,37). A probabilidade de inadimplência é a média ponderada das probabilidades condicionais de cada faixa de X, usando como pesos as probabilidades de X pertencer a cada faixa, calculadas pela distribuição Normal com média 6 e variância 4. O método é o Teorema da Probabilidade Total: .
A questão combina dois conceitos: a distribuição Normal (para calcular a probabilidade de X cair em cada intervalo) e o Teorema da Probabilidade Total (para combinar as probabilidades condicionais de inadimplência). O enunciado fornece as probabilidades condicionais de inadimplência para cada faixa de X: 0,6 se X < 4; 0,4 se 4 ≤ X ≤ 7; 0,2 se X > 7. O que falta é calcular as probabilidades de X pertencer a cada faixa, usando a Normal(6, 4).
Passo a passo do método:
Padronizar a variável: como X ~ N(μ=6, σ²=4), o desvio padrão é σ = 2. A variável padronizada é .
Calcular as probabilidades das faixas:
.
.
.
Usar a tabela da Normal padrão para obter os valores de e . Esses valores não estão disponíveis aqui, mas são os únicos dados que faltam para completar o cálculo.
Aplicar o Teorema da Probabilidade Total:
Substituir os valores da tabela e obter o resultado final, que deve ser aproximadamente 0,37 (letra B).
1Padronizar Z = (X−μ)/σ
2P(X<4) e P(X>7) na tabela
3P(4≤X≤7) por diferença
4P(I) = Σ P(I|faixa)·P(faixa)
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Critério
Faixa X < 4
Faixa 4 ≤ X ≤ 7
Faixa X > 7
Probabilidade condicional de inadimplência
0,6
0,4
0,2
Valor padronizado Z
Z < −1
−1 ≤ Z ≤ 0,5
Z > 0,5
Peso na probabilidade total (P da faixa)
P(Z < −1)
P(−1 ≤ Z ≤ 0,5)
P(Z > 0,5)
Contribuição para P(inadimplência)
0,6 × P(Z < −1)
0,4 × P(−1 ≤ Z ≤ 0,5)
0,2 × P(Z > 0,5)
Alternativa A — ❌ Incorreta
O valor 0,35 é um distrator. Ele pode resultar de um arredondamento diferente ou de um erro no cálculo das probabilidades da Normal (por exemplo, usar a tabela com valores incorretos). O cálculo correto, com os valores da tabela, leva a 0,37.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
É o resultado do Teorema da Probabilidade Total aplicado corretamente. A média ponderada das probabilidades condicionais (0,6; 0,4; 0,2) pelos pesos das faixas (calculados pela Normal) resulta em aproximadamente 0,37.
Alternativa C — ❌ Incorreta
0,39 é um distrator. Pode surgir de um erro na padronização (por exemplo, usar variância 4 como desvio padrão, o que daria Z = (4-6)/4 = -0,5 e Z = (7-6)/4 = 0,25, alterando os pesos e o resultado final).
Alternativa D — ❌ Incorreta
0,41 é um distrator. Pode resultar de um erro na leitura da tabela da Normal ou de uma ponderação incorreta (por exemplo, dar pesos iguais às três faixas, o que daria (0,6+0,4+0,2)/3 = 0,4, próximo, mas não exato).
Alternativa E — ❌ Incorreta
0,43 é um distrator. Pode surgir de um erro na aplicação do Teorema da Probabilidade Total, como esquecer de considerar a faixa intermediária ou usar probabilidades condicionais trocadas.
PEGA ESSA DICA!
Para questões de probabilidade total com distribuição Normal, organize o cálculo em etapas: 1) padronize a variável; 2) calcule as probabilidades de cada faixa usando a tabela da Normal; 3) monte a fórmula da probabilidade total com as probabilidades condicionais dadas; 4) substitua e some. Treine com questões que forneçam a tabela da Normal para ganhar agilidade.