Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — FGV 2024

Subconjuntos sem números consecutivos

Gabarito: letra C (15). O número de subconjuntos de 4 elementos do conjunto A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} que não contêm números inteiros consecutivos é 15. Isso decorre da fórmula clássica: para escolher k elementos de {1,...,n} sem consecutivos, o total é $\binom{n - k + 1}{k}$. Aqui, n=9 e k=4, resultando em $\binom{9-4+1}{4} = \binom{6}{4} = 15$.

Explicação do método

Podemos transformar o problema: se os elementos escolhidos são $a_1 < a_2 < a_3 < a_4$ e não há consecutivos, então $a_{i+1} \ge a_i + 2$. Definindo $b_i = a_i - (i-1)$, obtemos $1 \le b_1 < b_2 < b_3 < b_4 \le 9 - 3 = 6$. Cada subconjunto de 4 elementos de {1,...,6} corresponde a um subconjunto válido, e vice-versa. Logo, o número é $C(6,4) = 15$.

Análise das alternativas

• Alternativa A (12): Incorreta. Esse valor não corresponde ao cálculo correto.

• Alternativa B (14): Incorreta. A combinação correta é 15.

• Alternativa C (15): Correta, conforme demonstrado.

• Alternativa D (16): Incorreta. Se o número fosse 16, a fórmula daria $\binom{?}{4}=16$, o que não ocorre.

• Alternativa E (18): Incorreta. 18 também não é o resultado.

Gabarito: letra C.