Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg102325

Variação percentual da área de um retângulo

Gabarito: letra B. A área de R₂ é 4% menor que a área de R₁, pois a área é o produto do comprimento pela largura, e os fatores 1,20 e 0,80 se multiplicam resultando em 0,96 — ou seja, 96% da área original, uma redução de 4%.

A questão combina dois conceitos: a fórmula da área do retângulo (base × altura) e a variação percentual sucessiva. Quando uma dimensão aumenta 20% e a outra diminui 20%, os efeitos não se anulam — eles se multiplicam. Isso acontece porque a área depende do produto das duas medidas, e não da soma.

Vamos chamar o comprimento de R₁ de $C$ e a largura de $L$ . A área de R₁ é:

A_1 = C \times L

O comprimento de R₂ é 20% maior, ou seja, $1{,}20 \times C$ . A largura de R₂ é 20% menor, ou seja, $0{,}80 \times L$ . Portanto:

A_2 = (1{,}20 \cdot C) \times (0{,}80 \cdot L) = (1{,}20 \times 0{,}80) \times (C \times L) = 0{,}96 \times A_1

Como $0{,}96 = 96\%$ , a área de R₂ é 96% da área de R₁, o que representa uma redução de 4%.

A pegadinha clássica aqui é achar que +20% e −20% se cancelam, resultando em área igual. Mas isso só valeria se as grandezas fossem somadas. Como a área é um produto, os percentuais se multiplicam: $1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$ , e não 1,00.

Caso	Fatores aplicados	Resultado
R₁ (referência)	1,00 × 1,00	1,00 (100%)
R₂ (aumento 20% e redução 20%)	1,20 × 0,80	0,96 (96%)
Variação percentual	0,96 − 1,00	−0,04 (4% menor)

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a área de R₂ é 10% menor. Esse valor não corresponde a nenhum cálculo direto. O erro vem de tentar "compensar" os 20% de aumento com os 20% de redução de forma linear (20% − 20% = 0%), ou de fazer uma média simples. O correto é multiplicar os fatores: $1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$ , que dá 4% de redução, não 10%.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A área de R₂ é 4% menor que a de R₁. Como demonstrado, $A_2 = 0{,}96 \times A_1$ , ou seja, 96% da área original — uma redução de 4%. O cálculo é direto: $1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que as áreas são iguais. Isso seria verdade se os percentuais se anulassem, o que ocorreria apenas se as grandezas fossem aditivas. Como a área é o produto das dimensões, os fatores se multiplicam e o resultado é 0,96, não 1,00. Portanto, as áreas não são iguais.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a área de R₂ é 4% maior. Isso seria o caso se ambos os fatores fossem de aumento (1,20 × 1,20 = 1,44, ou seja, 44% maior) ou se a redução fosse menor que o aumento. Aqui, como um fator é de aumento (1,20) e o outro de redução (0,80), o produto é 0,96, indicando redução, não aumento.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a área de R₂ é 10% maior. Esse valor não tem base no cálculo. Se ambos os fatores fossem de aumento, teríamos 44% de aumento; se fossem de redução, 36% de redução. Nenhuma combinação simples gera 10% de aumento. O correto é 4% de redução.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a falsa intuição de que +20% e −20% se anulam. Como a área é um produto, os percentuais se multiplicam: $1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$ . Sempre que uma grandeza for produto de duas outras, aplique os fatores multiplicativamente, nunca por soma ou subtração direta. Com esse raciocínio, você resolve qualquer variação percentual em áreas, volumes, etc.

PEGA ESSA DICA!

Para variações percentuais sucessivas, converta cada percentual em fator (aumento de 20% → 1,20; redução de 20% → 0,80) e multiplique. O resultado final em decimal, subtraído de 1, dá a variação total. Ex.: $0{,}96 - 1 = -0{,}04$ → 4% de redução. Treine com outros pares, como +10% e −10% (resulta em 1% de redução) para fixar o padrão.

Gabarito: letra B