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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
fg102366
Banca
FGV
Órgão
Câmara de Fortaleza - CE
Ano
2024
Nível
Superior
No estojo de Alessandra há somente seis itens: três lápis idênticos, duas canetas azuis idênticas e uma caneta vermelha.Três desses itens serão retirados aleatoriamente e de maneira sucessiva de dentro do estojo. Se os itens retirados não serão colocados de volta no estojo, a probabilidade de que, entre os três itens retirados, não haja canetas de cores diferentes é
  1. A50%.
  2. B52%.
  3. C54%.
  4. D60%.
  5. E65%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 65%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 65% (alternativa E).

A ideia por trás

Probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Quando retiramos itens sem reposição, cada escolha reduz o total disponível, então usamos combinações para contar os grupos possíveis. A expressão 'não haja canetas de cores diferentes' significa que não podemos ter uma caneta azul e uma vermelha juntas; portanto, os casos favoráveis são aqueles em que só há lápis, ou canetas de uma única cor (azuis ou vermelha) acompanhadas de lápis. Nesta questão, precisamos contar quantos grupos de 3 itens satisfazem essa condição e dividir pelo total de grupos possíveis.

O que a questão dá

  • 3 lápis idênticos

  • 2 canetas azuis idênticas

  • 1 caneta vermelha

  • total de 6 itens

  • retirada de 3 itens sem reposição

O que queremos: a probabilidade de que, entre os três itens retirados, não haja canetas de cores diferentes

Passo 1 — Calcular o total de combinações possíveis

Para calcular qualquer probabilidade, precisamos saber quantos resultados possíveis existem. Como a ordem de retirada não importa e não há reposição, usamos combinação: o número de maneiras de escolher 3 itens entre 6.

Por que esta fórmula: A combinação C(n, k) conta grupos de k elementos escolhidos entre n, sem considerar a ordem. É a ferramenta certa para contar os casos possíveis de retirada.

C6,3=6!3!⋅3!C_{6,3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!}

De onde vem cada valor: 66 = enunciado: total de itens no estojo · 33 = enunciado: quantidade de itens retirados

C6,3=6×5×43×2×1=20 combinac\co~esC_{6,3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \boxed{20\ \text{combina}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (A_{6,3}) em vez de combinação, o que daria 120 e levaria a uma probabilidade errada.

Passo 2 — Contar os casos favoráveis: só lápis

A condição 'não haja canetas de cores diferentes' permite que saiam apenas lápis, pois lápis não são canetas. Precisamos contar quantos grupos de 3 lápis existem.

Por que esta fórmula: Como os três lápis são idênticos, só há uma maneira de escolher os três: pegar todos.

1 caso favorável

NÃO CAIA NESSA!

Achar que há mais de uma maneira por causa da ordem, mas como são idênticos, a ordem não cria grupos diferentes.

Passo 3 — Contar os casos com duas canetas azuis e um lápis

Esse grupo não tem canetas de cores diferentes (só azuis), então é favorável. Precisamos contar quantas combinações desse tipo existem.

Por que esta fórmula: Escolhemos as 2 canetas azuis (só há 1 maneira, pois são idênticas) e 1 lápis entre os 3 disponíveis. Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos as possibilidades.

1×C3,11 \times C_{3,1}

De onde vem cada valor: 11 = passo 2: as duas canetas azuis são idênticas, então só há uma forma de escolhê-las · C3,1C_{3,1} = enunciado: 3 lápis, escolher 1

1×31 \times 3

3 casos favoráveis

NÃO CAIA NESSA!

Contar as canetas azuis como distintas, o que daria C_{2,2} = 1, mas aqui é 1 mesmo; o erro seria contar 2 maneiras de escolher as azuis.

Passo 4 — Contar os casos com uma caneta azul e dois lápis

Ainda sem canetas de cores diferentes, pois só há azuis e lápis. Precisamos contar essas combinações.

Por que esta fórmula: Escolhemos 1 caneta azul entre as 2 (2 maneiras) e 2 lápis entre os 3 (C_{3,2} = 3). Multiplicamos.

C2,1×C3,2C_{2,1} \times C_{3,2}

De onde vem cada valor: C2,1C_{2,1} = enunciado: 2 canetas azuis, escolher 1 · C3,2C_{3,2} = enunciado: 3 lápis, escolher 2

2×32 \times 3

6 casos favoráveis

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar as escolhas, contando apenas 3 ou apenas 2.

Passo 5 — Contar os casos com a caneta vermelha e dois lápis

A caneta vermelha sozinha com lápis não cria cores diferentes, então é favorável. Contamos essas combinações.

Por que esta fórmula: Escolhemos a caneta vermelha (1 maneira) e 2 lápis entre os 3 (C_{3,2} = 3).

1×C3,21 \times C_{3,2}

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: apenas 1 caneta vermelha · C3,2C_{3,2} = enunciado: 3 lápis, escolher 2

1×31 \times 3

3 casos favoráveis

NÃO CAIA NESSA!

Incluir casos com caneta vermelha e azul juntas, o que violaria a condição.

Passo 6 — Somar todos os casos favoráveis

Já contamos cada tipo de grupo que atende à condição. Agora precisamos do total de casos favoráveis para usar na probabilidade.

Por que esta fórmula: Os casos são mutuamente exclusivos, então somamos as quantidades.

1+3+6+31 + 3 + 6 + 3

De onde vem cada valor: 11 = passo 2 · 33 = passo 5 · 66 = passo 4

1+3+6+31 + 3 + 6 + 3

13 casos favoráveis

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de contar algum caso, como o de três lápis.

Passo 7 — Calcular a probabilidade

Com o total de casos possíveis (passo 1) e o total de favoráveis (passo 6), podemos calcular a probabilidade como a razão entre eles.

Por que esta fórmula: Probabilidade é sempre casos favoráveis dividido por casos possíveis, quando todos são igualmente prováveis.

P=1320P = \frac{13}{20}

De onde vem cada valor: 1313 = passo 6 · 2020 = passo 1

P=1320P = \frac{13}{20}
0,65=65 %0{,}65 = \boxed{65\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração, colocando 20/13, o que daria mais de 100%.

Resposta: 65% (alternativa E)

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