Questão de Matemática — Porcentagem — FGV 2024

Aumentos sucessivos e taxa média mensal

Gabarito: letra A. Dois aumentos consecutivos de 30% e 10% equivalem a um aumento acumulado de 43% (fator 1,30 × 1,10 = 1,43). A taxa média mensal é a taxa constante que, aplicada duas vezes, produz o mesmo fator: $(1+i)^2 = 1,43$, o que dá $i \approx 19,6\%$ — portanto, maior que 19% e menor que 20%.

A questão mistura dois conceitos que costumam ser confundidos: o aumento acumulado e a taxa média mensal. O aumento acumulado é obtido multiplicando os fatores de aumento: 30% vira fator 1,30 e 10% vira fator 1,10. O produto é 1,43, ou seja, aumento total de 43%. Mas a taxa média mensal não é a média aritmética (30% + 10%)/2 = 20%, nem a média geométrica simples dos percentuais. Ela é a taxa $i$ que, aplicada duas vezes, reproduz o mesmo fator acumulado: $(1+i)^2 = 1,43$. Resolvendo: $1+i = \sqrt{1,43} \approx 1,1958$, logo $i \approx 19,58\%$. Esse valor está entre 19% e 20%, o que confirma a alternativa A.

A pegadinha clássica é achar que a taxa média é 20% (média aritmética dos percentuais) ou que é o próprio aumento acumulado de 43%. Nenhum dos dois é correto: a taxa média mensal é sempre menor que a média aritmética quando os aumentos são positivos, porque os juros compostos (aumentos sucessivos) fazem o valor crescer de forma exponencial.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A taxa média mensal é $i = \sqrt{1,43} - 1 \approx 0,1958 = 19,58\%$, que está no intervalo (19%, 20%). O cálculo é direto: o fator acumulado é 1,30 × 1,10 = 1,43; a taxa média é a raiz quadrada desse fator menos 1.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a taxa média é exatamente 20%. Isso seria a média aritmética simples dos percentuais (30% + 10%)/2 = 20%, mas a taxa média mensal em aumentos sucessivos é a média geométrica dos fatores, não a média aritmética. O valor correto é aproximadamente 19,58%, não 20%.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a taxa média está entre 20% e 21%. O valor calculado é 19,58%, que fica abaixo de 20%. Essa alternativa confunde a taxa média com um valor maior, talvez por arredondamento incorreto ou por pensar que a média deveria ser maior que 20%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a taxa média é igual a 21,5%. Esse número não corresponde a nenhum cálculo direto da questão. O valor correto é 19,58%. 21,5% seria o resultado de um cálculo errado, como aplicar a média aritmética e depois adicionar algo, ou confundir com a taxa que levaria a um fator de 1,215² = 1,476, que não é o caso.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a taxa média é igual a 43%. Esse é o aumento acumulado total (30% + 10% + 30%×10% = 43%), não a taxa média mensal. A taxa média mensal é a taxa constante que, aplicada duas vezes, gera o mesmo acumulado, e vale aproximadamente 19,58%.

Gabarito: letra A