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Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2024

MatemáticaRaciocínio Lógico
Código
fg102396
Banca
FGV
Órgão
DATAPREV
Ano
2024
Nível
Superior
Numa certa região há alguns vilarejos de maneira que cada dupla de vilarejos possui uma única estrada que os conecta. Observe o exemplo para cinco vilarejos em que cada casinha representa um vilarejo e cada segmento de reta representa uma estrada.Q29.png 217×198Considere que nessa região há inicialmente x vilarejos e que 2 novos vilarejos estejam se desenvolvendo. Por essa razão, 17 novas estradas estão sendo construídas.Nessas condições, o número x vale
  1. A6.
  2. B7.
  3. C8.
  4. D9.
  5. E10.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a x = 8 — alternativa C.

A ideia por trás

Quando cada par de vilarejos é ligado por exatamente uma estrada, o número total de estradas é o número de maneiras de escolher 2 vilarejos entre todos. Isso é uma combinação simples: a ordem não importa, pois a estrada entre A e B é a mesma entre B e A. A fórmula C(n,2) = n(n-1)/2 conta exatamente quantos pares distintos existem entre n elementos.

A relação central é que o número de estradas cresce com o quadrado do número de vilarejos: C(n,2) = n(n-1)/2. Se você adiciona um vilarejo, ele se conecta a todos os n existentes, criando n novas estradas. Adicionar dois vilarejos cria x + (x+1) = 2x+1 novas estradas, porque o segundo novo vilarejo se conecta aos x originais e também ao primeiro novo.

Esta questão pede para descobrir quantos vilarejos havia inicialmente, sabendo que a adição de 2 vilarejos gerou 17 novas estradas. A chave é modelar o aumento de estradas como a diferença entre as combinações antes e depois, ou usar o raciocínio direto de quantas conexões cada novo vilarejo faz.

O que a questão dá

  • número inicial de vilarejos = x

  • novos vilarejos = 2

  • novas estradas construídas = 17

O que queremos: o valor de x

Passo 1 — Calcular as estradas iniciais

Precisamos de uma expressão para o número de estradas antes da chegada dos novos vilarejos, para depois comparar com o total final. Como cada par de vilarejos tem uma estrada, usamos a combinação de x elementos tomados 2 a 2.

Por que esta fórmula: A combinação C(x,2) conta quantos pares distintos podemos formar com x vilarejos, e cada par é uma estrada. A fórmula simplificada x(x-1)/2 vem de C(n,2) = n!/(2!(n-2)!).

E1=x(x−1)2E_1 = \frac{x(x-1)}{2}

De onde vem cada valor: xx = enunciado: número inicial de vilarejos

E1=x(x−1)2E_1 = \frac{x(x-1)}{2}
E1=x(x−1)2E_1 = \boxed{\frac{x(x-1)}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo A(x,2) = x(x-1) em vez de combinação, contando cada estrada duas vezes.

Passo 2 — Calcular as estradas finais

Depois que os 2 novos vilarejos entram, o total de vilarejos passa a ser x+2. Precisamos da expressão para o número de estradas nessa nova situação, para subtrair do inicial e obter o aumento.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo 1, agora com x+2 vilarejos: cada par é uma estrada, então usamos C(x+2,2).

E2=(x+2)(x+1)2E_2 = \frac{(x+2)(x+1)}{2}

De onde vem cada valor: x+2x+2 = enunciado: x vilarejos iniciais + 2 novos

E2=(x+2)(x+1)2E_2 = \frac{(x+2)(x+1)}{2}
E2=(x+2)(x+1)2E_2 = \boxed{\frac{(x+2)(x+1)}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o segundo novo vilarejo também se conecta ao primeiro novo, contando apenas x novas estradas por vilarejo.

Passo 3 — Montar a equação do aumento

O enunciado diz que foram construídas 17 novas estradas, ou seja, a diferença entre o número final e o inicial é 17. Isso nos dá uma equação para descobrir x.

Por que esta fórmula: A diferença E_2 - E_1 representa exatamente as novas estradas. Igualamos a 17.

E2−E1=17E_2 - E_1 = 17

De onde vem cada valor: E2E_2 = passo 2 · E1E_1 = passo 1 · 1717 = enunciado: novas estradas construídas

(x+2)(x+1)2−x(x−1)2=17\frac{(x+2)(x+1)}{2} - \frac{x(x-1)}{2} = 17
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair e igualar diretamente E_2 a 17, o que daria uma equação diferente.

Passo 4 — Simplificar a equação

Para resolver a equação, precisamos eliminar as frações e simplificar a expressão algébrica. Multiplicar tudo por 2 remove os denominadores.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por 2 é uma operação válida que mantém a igualdade e facilita a expansão.

(x+2)(x+1)−x(x−1)=34(x+2)(x+1) - x(x-1) = 34

De onde vem cada valor: (x+2)(x+1)(x+2)(x+1) = passo 3, numerador de E_2 · x(x−1)x(x-1) = passo 3, numerador de E_1 · 3434 = passo 3: 17 × 2

(x+2)(x+1)−x(x−1)=34(x+2)(x+1) - x(x-1) = 34
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o 17 por 2 também, resultando em 17 no lado direito.

Passo 5 — Expandir os produtos

Agora precisamos abrir os parênteses para simplificar a expressão e isolar x. Expandir cada produto é o próximo passo algébrico.

Por que esta fórmula: Usamos a propriedade distributiva: (x+2)(x+1) = x² + 3x + 2 e x(x-1) = x² - x.

x2+3x+2−x2+x=34x^{2} + 3x + 2 - x^{2} + x = 34

De onde vem cada valor: x2+3x+2x^{2} + 3x + 2 = passo 4: expansão de (x+2)(x+1) · x2−xx^{2} - x = passo 4: expansão de x(x-1)

x2+3x+2−x2+x=34x^{2} + 3x + 2 - x^{2} + x = 34
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair x(x-1): o correto é -x² + x, não -x² - x.

Passo 6 — Isolar x

Com a expressão simplificada, podemos resolver a equação de primeiro grau resultante. Juntamos os termos semelhantes e isolamos x.

Por que esta fórmula: Após cancelar x², sobra 4x + 2 = 34. Subtraímos 2 e dividimos por 4.

4x=324x = 32

De onde vem cada valor: 4x4x = passo 5: 3x + x · 3232 = passo 5: 34 - 2

4x=324x = 32
x=8x = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 2 antes de dividir, obtendo x = 8,5.

Resposta: x = 8 — alternativa C

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