Uma determinada escola adota o sistema de pesos por bimestre para o cálculo da média anual. O primeiro bimestre tem peso 1, o segundo, 2, o terceiro, 3, e o quarto, 4. Assim, para calcular a média anual, um estudante deve efetuar a soma de cada uma de suas notas bimestrais multiplicadas pelos seus respectivos pesos e dividir por 10. Para ser aprovado, um aluno precisa ter média anual, no mínimo, igual a 7,0.Arnaldo tirou notas 4,0; 6,0; 8,0; 8,0 nos 4 bimestres, não necessariamente nessa ordem. Para que Arnaldo seja aprovado, a sua menor nota deve ter sido tirada no
A1º bimestre, necessariamente.
B1º ou 2º bimestres, necessariamente.
C2º bimestre, necessariamente.
D3º bimestre, necessariamente.
E3º ou 4º bimestre, necessariamente.
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GabaritoB — 1º ou 2º bimestres, necessariamente.
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Média Ponderada e Pesos por Bimestre
Gabarito: letra B. Para Arnaldo ser aprovado, a menor nota (4,0) deve ter sido tirada no 1º ou 2º bimestre, necessariamente. Isso porque, com as notas 4,0; 6,0; 8,0; 8,0 e pesos 1, 2, 3, 4, a média ponderada máxima que ele consegue é 7,0 — e ela só é alcançada quando a nota 4,0 fica no 1º ou no 2º bimestre (pesos 1 ou 2). Se a nota 4,0 cair no 3º ou 4º bimestre (pesos 3 ou 4), a média fica abaixo de 7,0 e ele é reprovado.
A questão trabalha com média aritmética ponderada, em que cada nota é multiplicada pelo seu peso e a soma é dividida pela soma dos pesos (que, no caso, é 1 + 2 + 3 + 4 = 10). A fórmula geral é:
No caso, os pesos são fixos (1, 2, 3, 4) e as notas são 4,0; 6,0; 8,0; 8,0, mas a ordem em que elas aparecem nos bimestres é que varia. Como o peso do 4º bimestre é o maior (4), a nota que recebe esse peso tem o maior impacto na média. Para maximizar a média, a menor nota (4,0) deve ficar no menor peso (1º bimestre, peso 1), e a segunda menor (6,0) no segundo menor peso (2º bimestre, peso 2). As notas 8,0 e 8,0 ficam nos pesos 3 e 4.
Vamos calcular a média para cada posição possível da nota 4,0:
Portanto, a menor nota (4,0) precisa estar no 1º ou no 2º bimestre para que a média seja exatamente 7,0 (o mínimo para aprovação). Se estiver no 3º ou 4º, a média fica abaixo de 7,0.
Posição da nota 4,0 (menor)
Atribuição das notas (1º, 2º, 3º, 4º bimestre)
Média ponderada
Resultado
1º bimestre (peso 1)
4,0; 6,0; 8,0; 8,0
(4×1 + 6×2 + 8×3 + 8×4) / 10 = 72/10 = 7,0
Aprovado ✅
2º bimestre (peso 2)
6,0; 4,0; 8,0; 8,0
(6×1 + 4×2 + 8×3 + 8×4) / 10 = 70/10 = 7,0
Aprovado ✅
3º bimestre (peso 3)
6,0; 8,0; 4,0; 8,0
(6×1 + 8×2 + 4×3 + 8×4) / 10 = 66/10 = 6,6
Reprovado ❌
4º bimestre (peso 4)
6,0; 8,0; 8,0; 4,0
(6×1 + 8×2 + 8×3 + 4×4) / 10 = 62/10 = 6,2
Reprovado ❌
Média ponderada (pesos 1, 2, 3, 4)
1Notas: 4,0; 6,0; 8,0; 8,0
2Para aprovação (média ≥ 7,0)
4,0 no 3º bimestre → 6,6
4,0 no 4º bimestre → 6,2
4,0 no 1º bimestre → 7,0
4,0 no 2º bimestre → 7,0
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Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que a menor nota deve ter sido tirada necessariamente no 1º bimestre. Isso é falso, pois se a nota 4,0 estiver no 2º bimestre (peso 2), a média também é 7,0, como calculado acima. A alternativa restringe demais a condição.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Afirma que a menor nota deve ter sido tirada no 1º ou 2º bimestre, necessariamente. É exatamente o que a análise mostra: apenas nessas duas posições a média atinge 7,0. Se a nota 4,0 estiver no 3º ou 4º bimestre, a média fica abaixo do mínimo. Portanto, a condição é necessária e suficiente.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que a menor nota deve ter sido tirada necessariamente no 2º bimestre. Isso é falso, pois a nota 4,0 também pode estar no 1º bimestre (peso 1) e a média continua 7,0. A alternativa exclui indevidamente o 1º bimestre.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que a menor nota deve ter sido tirada necessariamente no 3º bimestre. Isso é falso, pois se a nota 4,0 estiver no 3º bimestre, a média é 6,6, abaixo de 7,0 — Arnaldo seria reprovado. Logo, essa posição é justamente a que não pode ocorrer.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que a menor nota deve ter sido tirada no 3º ou 4º bimestre, necessariamente. Isso é o oposto do que a questão pede: nessas posições a média fica abaixo de 7,0 (6,6 e 6,2, respectivamente), reprovando Arnaldo. Portanto, é a condição que impede a aprovação.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a tendência de o candidato achar que, para maximizar a média, basta colocar a menor nota no menor peso — e concluir que só o 1º bimestre serve. Mas o 2º bimestre também funciona, pois a média exata de 7,0 é atingida com a nota 4,0 no peso 2. Fique atento: a condição é "1º ou 2º", não apenas "1º".
NÃO CAIA NESSA!
Em questões de média ponderada com pesos crescentes, para maximizar a média, atribua as maiores notas aos maiores pesos (e vice-versa). Para minimizar, faça o contrário. Aqui, como a média máxima possível é exatamente 7,0, a única forma de atingi-la é colocar as notas em ordem crescente de peso: 4,0 no peso 1, 6,0 no peso 2, 8,0 no peso 3 e 8,0 no peso 4. Mas atenção: como há duas notas 8,0, a ordem entre elas não importa, e a nota 6,0 pode trocar com a 4,0 desde que ambas fiquem nos dois primeiros pesos. Teste sempre as combinações para não cair na pegadinha.