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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2024

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
fg102441
Banca
FGV
Órgão
DATAPREV
Ano
2024
Nível
Médio
Um clube de futebol disponibilizou para venda em suas lojas um conjunto de seis copos americanos transparentes, cada um com um emblema diferente estampado na sua lateral.Sabendo que o clube produziu oito emblemas diferentes para estampar nos copos, o total de conjuntos distintos com seis copos que podem ser vendidos é
  1. A6.
  2. B12.
  3. C14.
  4. D28.
  5. E56.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 28.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 28 conjuntos distintos (alternativa D).

A ideia por trás

A análise combinatória estuda maneiras de contar agrupamentos. Quando a ordem dos elementos não importa, usamos a combinação simples: escolhemos um subconjunto de um conjunto maior, e a ordem interna não altera o grupo. A fórmula é C(n,p) = n! / (p! (n-p)!), onde n é o total de elementos e p é quantos escolhemos. Se a ordem importasse, seria arranjo, mas aqui cada conjunto é definido apenas pelos emblemas que o compõem, então a ordem não importa. Nesta questão, temos 8 emblemas e precisamos escolher 6 para cada conjunto, então aplicamos a combinação de 8 tomados 6 a 6.

O que a questão dá

  • 8 emblemas diferentes disponíveis

  • 6 copos em cada conjunto

O que queremos: o total de conjuntos distintos com seis copos que podem ser vendidos

Passo 1 — Reconhecer que é uma combinação

Precisamos decidir qual ferramenta da análise combinatória usar. Como o problema fala em 'conjuntos' e não em 'sequências', a ordem dos emblemas no conjunto não importa: um conjunto com os emblemas A, B, C, D, E, F é o mesmo que F, E, D, C, B, A. Quando a ordem não importa, usamos combinação simples, não arranjo.

Por que esta fórmula: A combinação simples conta quantos grupos de p elementos podemos formar a partir de n elementos, sem levar em conta a ordem. A fórmula é C(n,p) = n! / (p! (n-p)!).

Cn,p=n!p!(n−p)!C_{n,p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}

De onde vem cada valor: nn = enunciado: 8 emblemas · pp = enunciado: 6 copos

C8,6=8!6!(8−6)!C_{8,6} = \frac{8!}{6!(8-6)!}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (A_{8,6}) porque acha que a ordem importa, o que daria um número muito maior.

Passo 2 — Calcular o fatorial de 8 e 6

Para aplicar a fórmula, precisamos calcular os fatoriais. Fatorial de um número n é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n. Por exemplo, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Vamos calcular 8! e 6!.

Por que esta fórmula: A fórmula da combinação exige o cálculo de fatoriais, então precisamos expandi-los.

8!=8×7×6!8! = 8 \times 7 \times 6!

De onde vem cada valor: 8!8! = definição de fatorial · 6!6! = definição de fatorial

8!=8×7×6!8! = 8 \times 7 \times 6!

8! = 40320, 6! = 720

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 0! = 1, mas aqui não aparece.

Passo 3 — Simplificar a expressão da combinação

Agora substituímos os fatoriais na fórmula e simplificamos. Como 8! = 8 × 7 × 6!, podemos cancelar o 6! do numerador com o 6! do denominador, sobrando apenas 8 × 7 no numerador e 2! no denominador.

Por que esta fórmula: A simplificação é uma manipulação algébrica para facilitar o cálculo, usando a propriedade dos fatoriais.

C8,6=8×7×6!6!×2!=8×72!C_{8,6} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6! \times 2!} = \frac{8 \times 7}{2!}

De onde vem cada valor: 8×78 \times 7 = passo 2: 8! = 8 × 7 × 6! · 6!6! = passo 2: 6! no denominador · 2!2! = enunciado: (8-6)! = 2!

C8,6=8×72×1C_{8,6} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1}
NÃO CAIA NESSA!

Não cancelar o 6! corretamente, ou esquecer que 2! = 2.

Passo 4 — Efetuar a divisão final

Com a expressão simplificada, basta fazer a conta: 8 × 7 = 56, e 56 ÷ 2 = 28. Esse é o número de conjuntos distintos.

Por que esta fórmula: A divisão final é a operação aritmética que conclui o cálculo da combinação.

C8,6=8×72C_{8,6} = \frac{8 \times 7}{2}

De onde vem cada valor: 8×78 \times 7 = passo 3 · 22 = passo 3: 2! = 2

C8,6=562=28C_{8,6} = \frac{56}{2} = \boxed{28}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer 8 × 7 = 56 e esquecer de dividir por 2, obtendo 56 (alternativa E).

Resposta: 28 conjuntos distintos (alternativa D)

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