GabaritoB — 40.
Gabarito: letra B — a conta chega a 40 (alternativa B).
Esta questão envolve equações com duas incógnitas inteiras e a ideia de divisores. Quando temos um produto de dois inteiros igual a um número fixo, cada fator deve ser um divisor desse número. Aqui, reescrevemos a equação como y(x − y) = −24, então y e (x − y) são divisores de −24. Como y é positivo, y deve ser um divisor positivo de 24, e (x − y) deve ser o divisor negativo correspondente. A partir daí, encontramos os valores possíveis de x e somamos.
x e y são inteiros positivos
xy − y² + 24 = 0
O que queremos: a soma dos possíveis valores de x
Precisamos transformar a equação em uma forma que relacione dois inteiros cujo produto é constante, pois isso nos permite usar a ideia de divisores. Fatorando y, obtemos y(x − y) = −24.
Por que esta fórmula: A equação original tem termos com y² e xy; fatorando y, obtemos um produto de dois fatores: y e (x − y). Isso é útil porque, como x e y são inteiros, ambos os fatores são inteiros, e seu produto é −24.
De onde vem cada valor: = enunciado: y é inteiro positivo · = enunciado: x é inteiro positivo, então x − y é inteiro
Esquecer de fatorar y e tentar resolver diretamente, o que dificulta a análise.
Como y é um inteiro positivo e multiplica (x − y) resultando em −24, y deve ser um divisor positivo de 24. Precisamos listar todos os divisores positivos de 24 para testar cada possibilidade.
Por que esta fórmula: Os divisores de um número são os inteiros que o dividem exatamente. Para 24, os divisores positivos são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
Esquecer algum divisor, como 1 ou 24, o que levaria a perder soluções.
Para cada valor possível de y, podemos encontrar o valor correspondente de x usando a equação y(x − y) = −24. Isso nos dá todos os pares (x, y) que satisfazem a condição.
Por que esta fórmula: Isolamos x na equação: x − y = −24/y, então x = y − 24/y. Como y é divisor de 24, 24/y é inteiro, então x será inteiro.
De onde vem cada valor: = passo 2: cada divisor positivo de 24 · = enunciado: constante da equação
Esquecer que x deve ser positivo; alguns valores de y podem resultar em x negativo.
Agora aplicamos a fórmula para cada divisor de 24 e verificamos quais resultam em x positivo, pois o enunciado exige x inteiro positivo.
Por que esta fórmula: Substituímos cada y na fórmula x = y − 24/y e calculamos. Por exemplo, para y = 1, x = 1 − 24 = −23 (inválido); para y = 2, x = 2 − 12 = −10 (inválido); e assim por diante.
Incluir valores negativos de x, como −23, −10, etc., que não são permitidos.
O problema pede a soma dos possíveis valores de x. Já temos os valores válidos: 2, 5, 10 e 23. Basta somá-los.
Por que esta fórmula: A soma é simples: 2 + 5 + 10 + 23 = 40.
De onde vem cada valor: = passo 4: x para y = 6 · = passo 4: x para y = 8 · = passo 4: x para y = 12 · = passo 4: x para y = 24
Esquecer algum valor, como 23, e somar apenas 2+5+10 = 17, ou incluir valores negativos.
Resposta: 40 (alternativa B)
Link permanente: /questoes/fg102479